Para $X$ contráctiles, la deformación se retracte de $CX$ a $X$.

Question

Supongamos $X$ es un espacio topológico que es contráctiles. Quiero mostrar que el cono en $X$ deformación se retrae en $X$.

Mi retracción $r: CX \to X$ es sólo el homotopy que los contratos de $X$ a un punto. Ahora necesito un homotopy $H: CX \times I \to CX$ $1_{CX}$ $ir$ rel $X$.

Si visualizo un homotopy al$X$$D^2$, puedo ver intuitivamente cómo debe comportarse. La explícita homotopy es eludir mí, sin embargo.

Answer 1

Deje $H : X \times I \to X$ ser una deformación de retracción de $X$ a un punto de $* \in X$, lo $H(x,0) = x$ $H(x,1) = *$ todos los $x$. A continuación, una explícita la deformación de retracción de $CX = (X \times I) / (X \times \{1\})$ a $X = X \times \{0\}$ está dado por $$G([x,s), t) = \begin{cases} [H(x,2st), s] &\text{ for %#%#%} \\ [H(x,s), s(2-2t)] &\text{ for %#%#%} \end{casos}$$

En primer lugar, esto está bien definido (y por lo tanto continua): al $0\leq t\leq 1/2$, el lado derecho no depende de la $1/2\leq t\leq 1$, y para $s=1$, las dos definiciones de acuerdo. El hecho de que $x$ es una deformación de retracción en $t=1/2$ sigue a continuación, a partir de los siguientes cálculos: $G$$ $X\times\{0\}$$ $$G([x,s],0)=[H(x,0),s]=[x,s]$0\leq t\leq 1/2$$G([x,s],1)=[H(x,s),0]\in X\times\{0\}$$ $$G([x,0],t)=[H(x,0),0]=[x,0]\text{ for $0\leq t\leq 1/2$}$$

La intuición detrás de esto es como sigue. En primer lugar, homotope la $$G([x,0],t)=[H(x,0),0]=[x,0]\text{ for $-coordinar de$}$$X$, manteniendo el cono coordinar constante. En segundo lugar, mueva el cono coordinar abajo a$x=H(x,0)$, manteniendo el $H(x,s)$-coordinar constante. Tenga en cuenta que si usted trata de hacer estos pasos, al mismo tiempo, en lugar de una después de la otra (como Najib Idrissi y Nitrógeno hizo en su ahora eliminado las respuestas), el mapa no estar bien definido en el cono punto, porque el primer paso es el único bien definido en el cono punto, si usted mantener la altura constante (por lo que el cono permanece en el cono de punto).

Answer 2

Otro enfoque:

1. Cualquier cono $CY$ en un espacio de $Y$ es contráctiles como la deformación se retrae hacia el ápice.
2. Si $X$ es contráctiles, a continuación, la inclusión $i:X\hookrightarrow CX$ $X$ como la base de la $CX$ es un homotopy de equivalencia. De esta manera se sigue, por ejemplo, desde contráctiles los espacios de la terminal de objetos en la categoría de $h\mathbf{Top}$ y un morfismos entre la terminal de objetos es necesariamente un isomorfismo.
3. Ahora, esta inclusión se $i$ es también un cofibration, y hay un lema diciendo que un cofibration que es al mismo tiempo un homotopy de equivalencia (un acíclicos cofibration) es la inclusión de una deformación retractarse.