Las probabilidades se encuentran entre 17.7% y 18.7%.
El peor caso se produce cuando todo el mundo, pero usted tiene exactamente una entrada en el sorteo: esta es una configuración coherente con los datos (aunque raro!).
Vamos a contar el número de posibilidades en el que usted no gana. Este es el número de maneras de dibujar $25$ entradas de la $784-6$ entradas restantes, dada por el coeficiente Binomial $\binom{784-6}{25}$. (Es un número enorme). El número total de posibilidades, todas ellas igualmente probable en una feria de dibujo--es $\binom{784}{25}$. La relación se simplifica a $(784-25)\cdots(784-30) / [(784)\cdots(784-5)]$, que es aproximadamente 82.22772%: la probabilidad de no ganar. Sus posibilidades de ganar en esta situación, por tanto, igual a 1 - 82.22772% = 17.7228%.
El mejor de los casos se produce cuando hay tan pocos individuos involucrados en la lotería como sea posible y como muchos como sea posible ha $6$, y, a continuación,$5$, etc, los boletos. Dado que la "joya" que cuenta son las $(42, 72, 119, 156, 178, 217)$ (en orden ascendente), esto implica
En la mayoría de las $42 = a_6$ de las personas pueden tener $6$ entradas cada uno.
-
En la mayoría de las $72-42=30 = a_5$ de las personas pueden tener $5$ entradas cada uno.
...
En la mayoría de las $178-156=22 = a_2$ de las personas pueden tener $2$ entradas cada uno.
$217-178=39 = a_1$ de las personas tienen $1$ entrada de cada uno.
Deje $p(\mathbf{a}, l, j)$ designar la oportunidad de ganar cuando mantenga $j$ (entre el $1$$6$) billetes de lotería con los datos de $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\ldots,a_6)$ $l=25$ sorteos. El número total de entradas por lo tanto es igual a $1 a_1 + 2 a_2 + \cdots + 6 a_6 = n$. Considere el siguiente sorteo. Hay siete posibilidades:
Una de sus entradas está dibujada; usted gana. Las posibilidades de que esto es igual a $j/n$.
Alguien entradas son dibujados. Las posibilidades de que esto es igual a $(n-j)/n$. Si tienen $i$ de ellos, entonces todos los $i$ entradas se retiran a partir de la lotería. Si $l \ge 1$, el dibujo sigue con los nuevos datos: $l$ ha sido la disminución de $1$ $a_i$ ha sido la disminución de $1$. La posibilidad de que alguna persona con $i$ los billetes de la lotería es elegido, dado que el tuyo no lo son, es igual a $ia_i/(n-j)$. Esto le da seis discontinuo posibilidades de $i=1,2,\ldots,6$.
Añadimos estas posibilidades porque la partición de todos los resultados, sin solapamiento.
El cálculo continúa recursivamente abajo esta probabilidad árbol hasta que todas las hojas en $l=0$ son alcanzados. Es un montón de cálculo (sobre $25^6$ = 244 millones de cálculos), pero sólo toma un par de minutos (o menos, dependiendo de la plataforma). Puedo obtener 18.6475%de posibilidades de ganar en este caso.
Aquí está el Mathematica código que he usado. (Está escrito en paralelo el análisis anterior; podría ser un poco más eficiente a través de algunas reducciones algebraicas y las pruebas para al $a_i$ se reduce a $0$.) Aquí, el argumento a sí no recuento $j$ billetes: se da la distribución de los cargos de los billetes de todos los demás sostiene.
p[a_, l_Integer, j_Integer] /; l >= 1 := p[a, l, j] = Module[{k = Length[a], n},
n = Range[k] . a + j;
j/n + (n - j)/n ParallelSum[
i a[[i]] / (n - j) p[a - UnitVector[k, i], l - 1, j], {i, 1, k}]
];
p[a_, 0, j_Integer] := 0;
(* The data *)
a = Reverse[Differences[Prepend[Sort[{42, 72, 119, 217, 156, 178}], 0]]];
j = 6; l = 25;
(* The solution *)
p[a - UnitVector[Length[a],j], l, j] // N
Como una verificación de la realidad, vamos a comparar estas respuestas a dos ingenuos aproximaciones (ninguno de los cuales es bastante correcta):
25 empates con 6 entradas en el juego debe dar alrededor de 6*25 de 784 posibilidades de ganar. Este es el 19,1%.
Cada vez que la probabilidad de no ganar es sobre (784-6)/784. Plantear esta al 25 de energía para encontrar la probabilidad de no ganar en la lotería. Restar de 1 da el 17.5%.
Parece que estamos en el derecho de béisbol.
