¿Por qué es $e$ utilizado como base de los logaritmos naturales en todas partes?
Es el origen del hecho de que la exponencial es la única función con la propiedad única de sus diferencial e integral de la misma y que también igual a la función?
¿Hay alguna otra función como esta?
Gracias. También me ayudará con la debida etiquetas
La derivada de $\log_ax$ es $${1\over x\log_ea}$$ so even if you try using some base other than $e$ you find base $e$ coming around to bite you. And if you do use base $e$ then the formula simplifies to $1/x$, which is Nature's way of telling you to use base $e$.
Y, sí, esto es sólo otra manera de decir que, hasta comstant múltiplos, $e^x$ es la única función igual a su derivada.
$f(x)=e^x$ es la única función, hasta un factor constante, que tiene la propiedad $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x) $$ Desde $e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$, se deduce que $$ \begin{align} e^x &=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{nx}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\\ \end{align} $$ Si aceptamos el intercambio de la derivada con el límite, tenemos que $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{n}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1}\\[9pt] &=e^x\cdot1 \end{align} $$ Supongamos que $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x)$, a continuación, utilizando el cociente de la regla $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{e^{x}} &=\frac{e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)-f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x}{e^{2x}}\\ &=\frac{e^xf(x)-f(x)e^x}{e^{2x}}\\[6pt] &=0 \end{align} $$ Por lo tanto, por el Valor medio Teorema, $\dfrac{f(x)}{e^{x}}$ es una constante. Por lo tanto, $$ f(x)=ce^x $$
El logaritmo natural tiene ese nombre porque es el más opción natural para las matemáticas propósitos como Gerry puntos.
También, que en realidad sólo se necesita una logaritmo porque todos son de la misma hasta un multiplicativo constante. Es decir, dado $a>0$ ($a\ne1$) tenemos $$\log_ax=\log_a(e^{\log_ex})=(\log_e x)\cdot(\log_a e) = C_a \cdot\log_e x.$$
En ciencias de la computación es común el uso de la (menos natural) logaritmo $\log_2$, mientras que otros creen que el $\log_{10}$ es el más logaritmo natural.
Otra interesante a tener en cuenta es que si se resuelve la ecuación diferencial $\dfrac{d}{dx}f(x) = f(x)$, consigue $\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]}{f(x)}=1$ o $\int {\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]}{f(x)} \text{ d}x}= \int{1 \text{ d}x}$ conseguir $\text{ln}(|f(x)|) = x + C$ o $|f(x)| = e^{x+C} = C_{1}e^{x} \implies f(x) = C_{1}e^{x}$.
Financiera y actuarial de los campos de usar los poderes de $e$, decir $e^{\delta t}$ a representar continua de dividendos y capitalización de las tasas. En realidad, estos son definidos por el $\dfrac{\dfrac{d}{dx}[f(x)]}{f(x)}$ expresión.
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