Intersección de los intervalos de

Question

Deje $a\in\mathbb{N}_{\geq3}$.

Cómo puede uno demostrar que $$\bigcap_{i = 1}^{a} \bigcup_{j = 0}^{i-1} \left[\frac{1+aj}{i},\frac{a(j+1)-1}{i}\right] = \varnothing,$$ donde $\varnothing$ es el conjunto vacío?

Ejemplo de $a=5$:

El rojo es el intervalo, de color Amarillo son las brechas entre los intervalos que causa la intersección a ser un conjunto null, blanco deficiencias no afectan a la intersección.

Answer 1

En primer lugar, un lexema. Deje $a\ge 1$ ser un número entero y deje $x\in[0,1]$. Entonces existen enteros $m$ $n$ tal que $1\le n\le a$$|n x - m| < \frac{1}{a}$. Para probar esto, deje $z = \exp(2\pi i x)$ y considerar los números de $1, z,z^2,\ldots,z^a$ en el plano complejo. Deje $\phi_k = \arg(z^k)$$0\le \phi_k<2\pi$. Reordenar $\phi_0,\ldots,\phi_a$, de modo que $\phi_{\pi(0)}\le \phi_{\pi(1)}\le\ldots\le\phi_{\pi(a)}$ por una permutación $\pi$$0,\ldots,a$. Observar

$\ \ \sum_{k=1}^a (\phi_{\pi(k)} - \phi_{\pi(k-1)}) < 2\pi$.

Desde allí se $a$ no negativo de los términos en el lado izquierdo, al menos uno de estos términos está acotada arriba por $\frac{2\pi}{a}$. Por lo tanto,

(*) $ \ \ 0 \le \arg(z^{\pi(k)}) - \arg(z^{\pi(k-1)}) = \arg(z^{{\pi(k)}-{\pi(k-1)}}) < \frac{2\pi}{a}$

para algunos $k\in\{1,\ldots,a\}$. Deje $n = |\pi(k)-{\pi(k-1)}|$. Nota:$1\le n\le a$. Por definición de $z$ y (*) anterior, se deduce $|n x - m| < \frac{1}{a}$ para algunos entero $m$.

Ahora, el principal es el teorema de fácil. Vamos

$ S = \cap_{i=1}^a \cup_{j=0}^{i-1} \left[\frac{1+aj}{i},\frac{a(j+1) -1}{i}\right].$

Supongamos $\beta \in S$. Con $i=1,j=0$, vemos a $1\le \beta \le a-1$. Deje $x=\beta/a$ y aplicar el lema anterior. Entonces existen enteros $m,n$ $1\le n \le a$ tal que

(**) $ \left| n \frac{\beta}{a} - m \right| < \frac{1}{a}$.

Por lo tanto, $n\frac{\beta}{a}$ está dentro de $\frac{1}{a}$ de un número entero.

Ahora se centran en la unión plazo con $i=n$ en la definición de $S$:

$T = \cup_{j=0}^{n-1} \left[\frac{1+aj}{n},\frac{a(j+1) -1}{n}\right]$.

Observar que $T \subset \{y\in\mathbb{R}: \left|n \frac{y}{a}\right| \ge \frac{1}{a}\}$. En otras palabras, por cada miembro de la $y$ de $T$, $n \frac{y}{a}$ es, al menos, $\frac{1}{a}$ desde el entero más cercano. Recordando (**), vemos $\beta \notin T$. Por definición de $S$ y $T$, $S\subset T$, por lo $\beta\notin S$.