mal reducción de curvas elípticas

Question

¿Por qué curvas elípticas tienen mala reducción en algún momento si se define más de Q, pero no necesariamente en un número arbitrario de los campos?

Answer 1

También vale la pena señalar que la "buena reducción en $\mathfrak{p}$" es una condición local, por lo que una curva elíptica puede haber en todas partes buena reducción, a pesar de no tener una ecuación de Weierstrass que tiene buena reducción en todos los números primos. Esto es debido a que sobre los campos de la clase número mayor que 1, no siempre existen curvas elípticas que no han global mínima ecuaciones de Weierstrass. La existencia, o inexistencia, de un global mínima de Weierstrass ecuación se rige por un cierto ideal de la clase (véase la Proposición VIII.8.2 en mi Aritmética de Curvas Elípticas). El hecho de que si el número de clase es mayor que 1, entonces no siempre existen curvas con ningún global mínima de Weierstrass ecuación está en el artículo: "ecuaciones de Weierstrass y el mínimo de discriminante de una curva elíptica", Mathematika 31 (1984), no. 2, 245-251. También hay un papel por Bekyel que describe la densidad de las curvas de tener (o no tener) global mínima ecuaciones de Weierstrass: "La densidad de curvas elípticas tener un global mínima de Weierstrass ecuación", J. Teoría de los números 109 (2004), no. 1, 41-58. La moral es que se puede producir curvas en todas partes con una buena reducción de la escritura de la específica de la ecuación de Weierstrass, pero para determinar si una curva tiene en todas partes un buen reducción se realiza a través de locales de cálculos, y los asociados elíptica esquema de tener todas partes un buen reducción de mayo necesitan ser parcheados juntos utilizando más de una ecuación de Weierstrass.

Answer 2

Aquí hay otra respuesta, sin duda una exageración, pero posiblemente muy interesante, una exageración.

Por la elíptica modularidad teorema, el resultado se sigue del hecho de que el sistema modular de la curva de $X(1)$ género $0$: o, equivalentemente, que la mitad superior del plano-modulo $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$ es sólo el afín a la línea de $\mathbb{A}^1_{/\mathbb{C}}$. El hecho de que esta curva ha de tener género $0$ sigue a partir de la Fontaine el teorema de que no hay curvas de resultados positivos de género en todas partes con una buena reducción de más de $\mathbb{Q}$.

Por otro lado, dado un totalmente real campo de $F$ de los estrechos de la clase número uno con $[F:\mathbb{Q}] = 2n+1$, podemos formar el Shimura curva de $X_F(1)$ correspondiente a un álgebra de cuaterniones $B/F$ que es unramified en cada lugar finito de $F$ es ramificado en $2n$ $2n+1$ lugares reales; un álgebra de cuaterniones existe porque $2n$ es incluso. Esta curva no tiene en todas partes un buen reducción de más de $F$. Por otra parte, hay un número finito, conocido lista de ejemplos en los que el género de esta curva es igual a cero (como $F$ rangos de todas totalmente real campos). Así que, asumiendo que hay infinitamente muchos de esos $F$ de estricta clase número uno, que sin duda es un creído conjetura -- uno tiene infinidad de modular las curvas más totalmente real campos de $F$ con todo buena reducción. Para obtener curvas elípticas de ellos uno tiene rango uno de los factores de la división de la Jacobiana. De nuevo, parece muy plausible que esto va a suceder infinidad de veces que varían $F$ incluso sobre todas totalmente real cúbicos campos de la clase número uno.

Answer 3

Hubo algunas discusiones sobre esta cuestión. Esta propiedad es muy específico a $\mathbb Z$.

Para la construcción de curvas elípticas en todas partes con una buena reducción de más de un campo de número, puede comenzar con cualquiera de curva elíptica sobre $\mathbb Q$ integral $j$-invariante. Entonces es bien kwnon que $E$ tiene buena reducción en todas partes a través de algunas finito extensión de $K$ $\mathbb Q$ (en realidad, es suficiente para tomar $K$ ser la extensión generada por la $3$-torsión puntos de $E$). La existencia de variedades con buena reducción en todas partes sobre el número de campo tiene también para abelian variedades y las curvas de cualquier género. Esto puede ser visto como teorema de existencia de la integral de puntos en algunos de los módulos de los esquemas de parametrización un abelian esquemas y curvas de más de $\mathbb Z$ (busca obras de R. Rumely y de L. Moret-Bailly en Skolem propiedades).

Answer 4

Aquí hay dos respuestas:

(a) Si intenta escribir una curva elíptica $y^2 = x^3 + a x + b$ con todo buena reducción, usted necesita elegir a $a$ $b$ tal que $4a^3 + 27 b^2 = $ una unidad. Sin duda podemos resolver esta ecuación en algunos (muchos!) de los campos de número, por ejemplo si hemos creado la unidad de igualdad de a $1$ o $-1$, o una unidad en alguna base fija campo de número. Pero no podemos resolverlo en ${\mathbb Q}$.

[Edit: Como Bjorn íntimos en su comentario a continuación, uno tiene que ser un poco más cuidadoso de lo que soy está aquí para asegurarse de la buena reducción de la mod de los números primos por encima de 2; los detalles se dejan al lector interesado (o, me imagino, se puede encontrar en Silverman en la sección donde se discute la prueba de que no hay ninguna buena reducción de curvas elípticas sobre $\mathbb Q$).]

(b) Hay muchos que no trivial en todas partes unramified extensiones de campos de número (por ejemplo,$\mathbb Q(\sqrt{-5}, i)$$\mathbb Q(\sqrt{-5})$), pero no hay por todas partes unramified extensiones de la particular campo de número de $\mathbb Q$. La situación con curvas elípticas es completamente análogo.

Answer 5

Para aquellos con un algoritmo doblado, usted debe buscar en el documento de Cremona y Lingham "Encontrar Todas las Curvas Elípticas con Buena Reducción en el Exterior de un Conjunto Dado de números Primos" En Experimental De Las Matemáticas. Volumen 16, Número 3 (2007), 303-312. http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/papers/egros.pdf