Haciendo D-módulos afín variedades más explícito

Question

Este es un seguimiento a mi pregunta acerca de D-módulos apoyados en la nilpotent cono. Tengo algunas buenas respuestas allí, pero ahora tengo una pregunta básica.

Considere la posibilidad de un afín variedad algebraica X, una subvariedad cerrada i:Y - >X, y el intermedio de la extensión de la estructura de la gavilla Y a todos los de X (hace denotar esta i_!*O_Y ? Para que la materia, explicando el * o ! la extensión de vez sería útil empezar si es más fácil).

Mi pregunta es la siguiente: Puesto que X es afín, D(X) es un álgebra asociativa, generado por S(X) y Vect(X) por la construcción habitual. Mi pregunta es ¿cómo puedo entender yo_!*Oh,_Y como un módulo de álgebra asociativa D(X), suponiendo entiendo D(X)?

En otras palabras, ¿cuál es el espacio vectorial subyacente i_!*Oh,_Y, ¿cómo funciona en O(X) y campos vectoriales ley?

Probablemente necesite invertir en serio con un libro de texto para responder a esta pregunta a mí mismo, pero cualquier ayuda para empezar sería más apreciado!

Answer 1

Has mirado en Bernstein conferencias en D-módulos? Él demuestra un resultado relevante a su pregunta en la Lec. 3, 14 Segundos: para una afín a la incrustación Y - > X con Y irreductible, si E es un S_Ycoherentes, D_Y módulo (es decir, un vector de un paquete con una plana de conexión), el !* imagen directa de E puede ser caracterizado como el único irreductible subquotient de la * o ! imagen directa que tiene un valor distinto de cero restricción a Y. Ya que puede ser fácil en este tipo de situaciones para el cálculo de la * imagen directa, esto puede ser una buena manera de conseguir una manija en el otro functors. Por ejemplo, creo que se puede ver a partir de esto que si tomamos la incrustación de el origen en el afín a la línea, entonces, tanto la * e !* imágenes directas de la O_Y=k (el campo de tierra) son Un(1)/Un(1)t, donde t es la coordenada en el afín en línea y Un(1)=D_X es el 1-dimensional Weyl algebra k[t,d/dt]. Este cociente es justamente considerado como el "delta función" de Un(1) módulo, ya que su generador δ satisface tδ=0. No estoy seguro de cómo similar a este caso, su situación general será. Pero sin duda por Kashiwara del teorema uno sabe que la * imagen directa (y por lo tanto la !* imagen directa) será compatible con la subvariedad Y.

Answer 2

Creo que puedo responder a mi subquestion acerca de * extensión después de pensar en ello, pero realmente es el ! y !* las extensiones me gustaría entender. Creo que recuerdo la * extensión es sólo el pushforward.

Así que yo_*O(Y) = S(X) ⊗_i O(Y), y la D-módulo de acción siempre está sucediendo en el S(X) factor.

Lo siento contestar (una pequeña parte) de mi propia pregunta, pero yo no podía hacerlo en un comentario porque el formato, y tal vez esto va a guardar algún tipo de encuestado algún tiempo.

Answer 3

Puesto que Y es cerrado, la !, * y !* extensiones de coincidir, y debe haber un sencillo (pero confuso para mí) de manera de hacer lo que desea. Si Y es suave, entonces me pregunto si usted puede identificar el espacio vectorial estás hablando con algo así como secciones de la conormal paquete a Y en X, pero esto no es del todo correcta (por ejemplo, cuando Y = X). Cuando Y es singular, no es una historia más complicada, que tiene que ver con el hecho de que la definición obvia de D-módulo en una singular variedad no es bueno.

Cuando Y es sólo a nivel local cerrado, describiendo la !* la extensión es un problema difícil. Vilonen la tesis de que la única referencia que yo sé acerca de esto, está disponible aquí:

http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN356556735_0081&DMDID=dmdlog12

Incluso hay algo trivial para decir acerca de el ! y * extensiones--la característica de los ciclos de tales D-módulos fueron calculadas por Schmid y Vilonen. Tal vez hay un más elementales respuesta a su pregunta acerca de estas extensiones, sin embargo.