La presión y la densidad utilizando un general de Lagrange

Question

Dado un lagrangiano de un formulario: \begin{equation}\mathcal{L}=f(\phi,\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi)\end{equation} donde $f$ es una función, tengo que derivan de la presión y la densidad en un universo FLRW con $g^{\mu}_{\nu}=\delta^{\mu}_{\nu}$.

Mi enfoque es el uso de: \begin{equation}T_{\mu\nu}=-\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial g^{\mu\nu}}(\sqrt{-g}\mathcal{L})\end{equation} \begin{equation}=g_{\mu\nu}\mathcal{L}-2\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial g^{\mu\nu}}.\end{equation}

Y por último, \begin{equation}\rho=T^0_{ 0}\end{equation} \begin{equation}P=T^i_{ i}\end{equation}.

El problema que estoy enfrentando ahora es cómo utilizar explícitamente la forma de lagrange para simplificar el tensor de inercia de energía. Puede alguien ayudarme por favor?

Edite yo: Solo para aclarar, $\phi$ sólo depende de $t$ y es independiente de $x^i$.

Edit II: Bien, he resuelto. Aquí está la manera de hacerlo: \begin{equation}T_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}\mathcal{L}-2\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi.\end{equation} \begin{equation}\rho=T^0_{ 0}=\mathcal{L}-2\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial X}\dot{\phi}^2\end{equation} \begin{equation}P=T^i_{ i}=\mathcal{L}\end{equation}.

donde $X=\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi$.

Answer 1

Me dan una derivación, incluso si se trata de una isotrópica. Como es tu tarea, no me voy a dar todos los detial derivaciones.

Notación: $\eta_{\mu\nu}$ es en su mayoría positivos, deje $K=g_{\mu\nu}\partial^{\mu}\phi\partial^{\nu}\phi $

$$ S_{\phi} =\int d^4x \sqrt{-g}{\cal L}(\phi,K) \\ T_{\phi}^{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta{\cal L}}{\delta g_{\mu\nu}} = -g^{\mu\nu}{\cal L} + \frac{\partial {\cal L}}{\partial K}g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\partial_{\alpha}\phi\partial_{\beta}\phi $$

Ahora, podemos compararla con el tensor de inercia de energía para un fluido perfecto, $$ T^{\mu\nu} = pg^{\mu\nu} +(\rho+p)u^{\mu}u^{\nu}, \quad u^{\mu}u_{\mu}=-1$$ Las cantidades pueden ser identificados, $$p = -{\cal L} \\ \rho = \mbox{se puede averiguar} \\ u^{\mu} = -\frac{\partial^{\mu}\phi}{\sqrt{-K}}$$

Por lo tanto, el resto es simple como usted acaba de sustituir a un tiempo dependiente de la $\phi(t)$.