Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con $1$ . Supongamos que todo ideal propio no nulo de $R$ es máxima. Demostrar que hay a lo sumo dos ideales de este tipo.
Ayúdame con algunas pistas. No tengo ni idea para empezar.
Gracias por adelantado.
Respuestas
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Supongamos que $R$ tiene más de un ideal máximo, digamos $M_1$ y $M_2$ . Entonces $M_1\cap M_2$ es un ideal propio y no puede ser maximal (ya que está contenido en ambos $M_1$ y $M_2$ ) por lo que debemos tener $M_1\cap M_2 = 0$ . Ahora por el teorema chino del rimainder tenemos $$R \cong \frac{R}{0} = \frac{R}{M_1\cap M_2} \cong \frac{R}{M_1}\times\frac{R}{M_2}$$ el lado derecho es un producto de dos campos por lo que tiene exactamente dos ideales máximos. Así, $R$ no puede tener más de dos ideales máximos.
Igor Rivin
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Xetius
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Supongamos que tienes dos ideales no nulos. Ambos son máximos y mínimos, por lo que su suma es todo el anillo y su intersección es cero: se deduce que el anillo es la suma directa de los dos ideales. Como ambos son propios, ninguno de ellos contiene $1$ , por lo que ambos son anillos con unidad. Como anillos, no tienen ningún ideal propio distinto de cero, por lo que son de hecho campos.
Nuestro anillo es, por tanto, el producto directo de dos campos. Por inspección, podemos encontrar fácilmente todos sus ideales.
(también tenemos todos los ejemplos posibles, por cierto)
Henry Swanson
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Dejemos que $I$ y $J$ sean dos ideales distintos de $R$ . Sabemos que ninguno de los dos es un subconjunto del otro, por lo que $I \subset I + J$ . Desde $I$ es máxima, $I + J = R$ .
Supongamos que existe un tercer ideal propio no nulo de $R$ Llámalo $K$ . Considere $(I + J)K$ . Por un lado, esto debe ser $K$ porque $I + J = R$ y $1 \in R$ .
Pero también es igual a $IK + JK$ . Si todos los ideales propios no nulos son maximales, ¿qué sabes de $IK$ y $JK$ ?
