Divisor de un grupo finito

Question

Supongamos que tenemos un grupo finito $G$ y $d\in \mathbb N$ es un divisor de $|G|$ . Definimos el conjunto $E_d= \{g\in G : g^d =1\}$ . Demostrar que $d$ también es divisor de $|E_d|$ .

Hasta ahora he demostrado que $E_d=\displaystyle \bigcup_{g\in G : o(g)\vert d} \langle g \rangle$ pero no sabía cómo continuar a partir de aquí y si esta igualdad es útil o no. Agradeceré cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Considere el conjunto de $d$ -tuplas

\begin{eqnarray} S=\{(g_1, \cdots, g_d)|g_1g_2\cdots g_d=e, g_1, g_2, \cdots, g_d\text{ are not periodic with periodicity}>1\text{ and }<d\}\end{eqnarray}

Tenga en cuenta que $|S|$ es divisible por $d$ . Considere la $\mathbb{Z}_d$ -acción sobre $S$ permutando cíclicamente las entradas de una tupla, es decir, el generador $1\in\mathbb{Z}_d$ toma $(g_1, g_2, \cdots, g_d)$ a $(g_2, g_3, \cdots, g_d, g_1)$ . Existen dos tipos de órbitas, a saber, las tuplas en $E_d$ y las órbitas formadas por tuplas con algunas entradas distintas. Cada tupla en $E_d$ forma una órbita en sí, mientras que cada órbita del otro tipo consta de $d$ tuples. Por ecuación de clase,

\begin{eqnarray}|S|=|E_d|+\text{#tuples with some entries distinct}\end{eqnarray} Obsérvese que el conjunto de tuplas con algunas entradas distintas es una unión disjunta de órbitas cada una de las cuales está formada por $d$ tuples. Así, $|E_d|$ es divisible por $d$ .

Observación: Esto no es más que una adaptación de la demostración del teorema de Cauchy.

Answer 2

Se trata de un teorema de Frobenius. Lo demostró:

Teorema (Frobenius 1903): Sea $d$ sea un divisor de $|G|$ y $a_d$ sea el número de elementos de orden que dividen a $d$ . Entonces $a_d$ es divisible por $d$ .

Tenga en cuenta que $a_d=|E_d|$ . Una demostración de este teorema es dada, por ejemplo, por K. Brown aquí en el Corolario $1.6$ . La prueba utiliza que $$ a_d=\sum \mu (H,K) |H|, $$ donde $H$ y $K$ se extienden sobre subgrupos de orden divisor de $d$ obtenido mediante la fórmula de inversión de Moebius aplicada a las ecuaciones $$ |H|=\sum_{K\le H}f(K), $$ donde $f(K)=0$ si $K$ no es cíclico, y $f(K)=\phi(k)$ si $K$ es cíclico de orden $k$ . Para una prueba detallada, véase el artículo Sobre la función de Moebius de un grupo finito por Hawkes et al, Teorema $6.3$ .

Edición: Los comentarios se refieren a una respuesta anterior.