Qué error he hecho cuando se trata de evaluar el límite de $\lim \limits _ {n \to \infty}n - \sqrt{n+a} \sqrt{n+b}$?

Question

Supongamos $a$ $b$ son constantes positivas.

$$\lim \limits _ {n \to \infty}n - \sqrt{n+a} \sqrt{n+b} = ?$$

Lo que hice primero: He reorganizado $\sqrt{n+a} \sqrt{n+b} = n \sqrt{1+ \frac{a}{n}} \sqrt{1+ \frac{b}{n}}$: $$\lim \limits _ {n \to \infty} n - n \sqrt{1+ \frac{a}{n}} \sqrt{1+ \frac{b}{n}} = 0$$ Debido a que tanto $\frac{a}{n}$ $\frac{b}{n}$ tienden a $0$.

Lo que daría una respuesta correcta: El trazado de la función $$f(x) = x - \sqrt{x+a} \sqrt{x+b}$$ Indica claramente que tiene una asíntota en $- \frac{a+b}{2}$. Este resultado puede obtenerse multiplicando el numerador y el denominador por $n + \sqrt{n+a} \sqrt{n+b}$: $$\lim \limits _ {n \to \infty}n - \sqrt{n+a} \sqrt{n+b} = $$ $$-\lim \limits _{n \to \infty} \frac {n(a+b)}{n + \sqrt{n+a} \sqrt{n+b}} - \lim \limits _{n \to \infty} \frac {ab}{n + \sqrt{n+a} \sqrt{n+b}}$$ El segundo límite es claramente $0$, y el primero le da la respuesta correcta (dividiendo el numerador y el denominador por $n$).

Por qué la primera forma en que me trató mal? Yo podría haber hecho algo tonto pero yo no lo encuentro.

Answer 1

Su enfoque inicial fue bien. Sólo el uso de la expansión de la $\sqrt{1+\frac{a}{n}}=1+\frac{a}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ a mostrar que

$$\begin{align} \sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}&=\left(1+\frac{a}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\left(1+\frac{b}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\\\\\ &=1+\frac{a+b}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{align}$$

Finalmente tenemos

$$\begin{align} \lim_{n\to \infty}\left(n-\sqrt{n+a}\sqrt{n+b}\right)&=\lim_{n\to \infty}\,n\,\left( 1-1-\frac{a+b}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\\\\ &=-\frac{a+b}{2}\end{align}$$

Answer 2

Es cierto que tanto el $a/n$ $b/n$ tienden a $0$$n\to\infty$, sin embargo el factor de $n$ en ese plazo se aproxima $\infty$ al mismo tiempo. Así, el análisis de esta manera, el segundo término da la forma $\infty\cdot 1$, por lo que toda la expresión que da la forma indeterminada $\infty-\infty$.

Answer 3

Otro enfoque:

$$\sqrt{a+n}\sqrt{b+n}=\sqrt{ab+(a+b)n+n^2}$$ y

$$\begin{align}n-\sqrt{n+a}\sqrt{n+b}&=\frac{n^2-(n+a)(n+b)}{n+\sqrt{n^2+(a+b)n+ab}}\\ &=\frac{-(a+b)n-ab}{n+\sqrt{n^2+(a+b)n+ab}}\\ &=\frac{-(a+b)-\frac{ab}{n}}{1 + \sqrt{1+\frac{a+b}{n} + \frac{ab}{n^2}}} \end{align}$$

El numerador converge a $-(a+b)$ y el denominador converge a $2$.

Answer 4

Sólo se puede escribir $$\lim_{n\to\infty}a_n-b_n=\lim_{n\to\infty}a_n-\lim_{n\to\infty}b_n$$ when both $\lim_{n\to\infty}a_n$ and $\lim_{n\to\infty}b_n$ exist. Note, that $\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ means, that $(a_n)$ no converge.

Answer 5

Tu error está en que esta igualdad: \begin{equation*} \lim\limits_{n\rightarrow \infty }n-n\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}% =0\ \ \ \ \ \ (Here\ it\ is). \end{ecuación*} Explicación. Usted sabe que \begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty }n &=&+\infty ,\ \ \ and \\ \lim_{n\rightarrow \infty }n\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}} &=&+\infty ,\ \ \ too. \end{eqnarray*} Sin embargo, parece que te olvidas de que $\infty -\infty $ es un indetermined forma, esto es, cuando uno tiene \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=\infty ,\ \ \ \ \ and\ \ \ \ \ \ \lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}=\infty \end{ecuación*} entonces uno no puede dar ninguna conclusión acerca de \begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }(a_{n}-b_{n}) \end{ecuación*} porque uno puede tener muchas situaciones. En este caso se debe hacer algún tipo de el estudio adicional. Para este ejemplo se utiliza la técnica clásica que consiste en de la multiplicación y la división por lo que se llama conjugado de la original la expresión, de la siguiente manera (paso a paso) \begin{eqnarray*} \left( n-n\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}\right) &=&\left( n-n% \sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}\right) \left( \frac{n+n\sqrt{1+% \frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}}{n+n\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}% }\right) \\ &=&\frac{n^{2}-\left( n\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}\right) ^{2}}{% n+n\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}},\ \ \ \ \ \ ((x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}) \\ &=&\frac{n^{2}-n^{2}(1+\frac{a}{n})(1+\frac{b}{n})}{n+n\sqrt{1+\frac{a}{n}}% \sqrt{1+\frac{b}{n}}} \\ &=&\frac{n^{2}(1-(1+\frac{a}{n})(1+\frac{b}{n}))}{n(1+\sqrt{1+\frac{a}{n}}% \sqrt{1+\frac{b}{n}})} \\ &=&\frac{n(1-\left( 1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n}+\frac{ab}{n^{2}}\right) )}{(1+% \sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}})} \\ &=&\frac{-(a+b+\frac{ab}{n})}{(1+\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}})} \end{eqnarray*} por lo tanto, pasando el límite de que uno se \begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty }\left( n-n\sqrt{1+\frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}}% \right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{-(a+b+\frac{ab}{n})}{(1+\sqrt{1+% \frac{a}{n}}\sqrt{1+\frac{b}{n}})} \\ &=&\frac{-(a+b+0)}{1+\sqrt{1+0}\sqrt{1+0}}=-\frac{(a+b)}{2} \end{eqnarray*}