¿Es posible describir la función de Collatz en uno fórmula?

Question

Esto se relaciona con secuencia de Collatz, es que $$C(n) = \begin{cases} n/2 & \text{if} \equiv n 0 \pmod{2}\\ 3n + 1 y \text{if} \pmod{2 n\equiv 1}. \end{cases}$$

¿Es posible describir la función de Collatz en uno fórmula? (sin condiciones modulares)

Answer 1

$$ f (n) = \frac74n + \frac12 + (-1) ^ {n+1} \left(\frac54n+\frac12\right)$ $

Answer 2

$$C(n)=\frac{n}{2}\cos^2\left(\frac{\pi n}{2}\right)+(3n+1) \sin^2\left(\frac{\pi n}{2}\right)$$

Extensión continua . M. Chamberland $(1996)$ observó que la totalidad de la función definida por $$f(x)=x+\frac{1}{4}-\frac{2x+1}{4} \cos (\pi x)$$ interpola los $3n+1 función$: $$T(n)=\begin{casos} n/2 &\text{si } n \equiv 0 \pmod{2}\\ (3n+1)/2 & \text{si } n\equiv 1 \pmod{2} \end{casos}$$ y $T(n)=f(n)$ para $n\in \mathbb{N}$. Esto le permite a intentar aplicar los métodos de dimensiones discretas sistemas dinámicos $3n+1$ iteraciones.

Chamberland, M., Una Extensión Continua de la 3x + 1 Problema a la Línea Real, la Dinámica de Continuo, Discreto e Impulsivo de los Sistemas de 2 A996), 495-509.

Answer 3

Siempre puede hacer esta C(n) $$ = (\bmod n 2)(3n+1) + (1-(\bmod n 2))(n/2) $$

Answer 4

Si usted está buscando cualquier manera de escribir esto en términos de funciones elementales:

$$C(n)=n \cdot \left(\frac{1}{2}+\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-\frac{n}{2}\right)+2(3n+1) \cdot \left(\frac{n}{2}-\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\right)$$ donde $\lfloor x \rfloor$ es la función del suelo (es decir, el mayor entero menor o igual que $x$).

Pero probablemente esto no es lo que estaban buscando...

Sin embargo, estoy bastante seguro de que todos los posibles fórmulas de ocultar una "modulo condición", así que probablemente es la mejor manera de escribir esto de una manera más directa como se hace normalmente...

Answer 5

Sí. De hecho, en algunos aspectos, es más fácil usar una función que da los números impares en la secuencia de Collatz. A ver mi pregunta para más.

$$(1) \quad o_{n+1}={{3 \cdot o_n+1} \over {2^{v_2(3 \cdot o_n+1)}}}$$

Donde $v_2(3 \cdot o_n+1)$ es el 2-ádico de valoración. $o_n$ es el n-ésimo número impar en la secuencia de Collatz.

Usted también tiene la Collatz Fractal iteración, dada por,

$$(2) \quad z_{n+1}={1 \over 4} \cdot (2+7 \cdot z_n-(2+5 \cdot z_n) \cdot \cos(\pi \cdot z_n))$$

que se extiende la collatz función en el plano complejo. Creo que el punto a recordar es que la forma de la función de Collatz es escrito sin duda, influye en cómo se estudia. Esto permite obtener nuevos conocimientos acerca de lo común hilos de ejecución paralelos a todos los métodos. Pensamos que el hilo es de convergencia a uno, pero que realmente sabe todavía?