A lo que me refiero es, supongamos que decir que tengo un círculo centrado en algún punto en el espacio Euclídeo para que una cierta propiedad $P$ es cierto. ¿Cómo puedo concluir a partir de esto, que $P$ es cierto para todos los círculos con centro en cualquier punto arbitrario en el espacio. ¿Hay algún tipo de principio de invariancia en la geometría igual que en la Física. Podemos medir la velocidad de la luz aquí en la tierra y desde que llegamos a la conclusión de que esta es la velocidad de la luz por todo el universo. ¿Cómo puedo comprobar si la propiedad es invariante bajo la traducción. Me puedes dar un ejemplo concreto de esto ? En el caso de un círculo, podemos rotar la propiedad y que todavía puede ser cierto, yo diría entonces que la propiedad es invariante bajo de rotación para que el círculo particular.
Respuestas
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La geometría puede ser axiomatized y por lo tanto, para las pruebas de que son tan rigurosos como cualquier otro medio de prueba en un sistema formal. De hecho, Euclides "Elementos" es una muy sistemática y rigurosa de la geometría, comenzando con los axiomas y las reglas de deducción. Utilizando la notación moderna y de estilo nos lo habría escrito de otra manera, pero es, a pesar de que miles de años de antigüedad, riguroso.
De hecho, hay diferentes tipos de geometría, cada uno con diferentes axiomatizations. Como es sabido, al quinto postulado de Euclides resistieron muchos intentos de deducir que, formalmente y de manera rigurosa, a partir de los otros axiomas establecidos por Euclides. No fue hasta el 19 siglo que los matemáticos se dieron cuenta de que, de hecho, dos posibles alternativas de Euclides de la Quinta de producir modelos válidos, lo que demuestra que el Quinto no puede ser comprobado a partir de los otros postulados. Esto dio lugar a la geometría hiperbólica. También hay geometrías finitas y otros 'extraño' criaturas. En todas las pruebas a las que puede hacerse tan riguroso como uno quiere que sean.
Aquí está un ejemplo de una rigurosa prueba. Permítanos modelo del avión como $\mathbb R^2$ con la métrica Euclidiana $d(x,y)^2=(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2$. Una vez que se puede demostrar que de forma algebraica que $d$ es una función de distancia. Ahora, la definición de círculo se convierte en $\{x\in \mathbb R\mid d(x,p)=r\}$ donde $p\in \mathbb R^2$ es el centro y la $r>0$ la radio. El diámetro de cualquier subconjunto $S\subseteq \mathbb R^2$ se define a ser $\sup{d(s,t)}$ donde$s,t$$S$. Ahora (Teorema): el diámetro de un círculo de radio $r$ no exceda el $2r$. Prueba: Dado cualquier $x,y$ en un círculo con el centro $p$ y radio de $r$, tenemos, por la desigualdad de triángulo, que $d(x,y)\le d(x,p)+d(p,y)=r+r$. (Se puede mejorar este teorema para demostrar que el diámetro es, precisamente,$2r$).
Otro, más interesante, en el ejemplo sería la prueba del teorema de Pitágoras a través de la axiomatization de ángulos y distancias, por medio de un producto interior. Así, que ahora el modelo del avión como $\mathbb R^2$, como un espacio vectorial, con la norma interna del producto. El Cauchy-Schwarz desigualdad nos dice que podemos interpretar la relación $(x,y)$ significa que $x,y$ son perpendiculares. Recta hacia adelante de cálculo, a continuación, muestra que $\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2$ para todos los vectores perpendiculares. Visualización de la norma como de la longitud y de la ley del paralelogramo para la adición de vectores, esto es, precisamente, el Teorema de Pitágoras.
Tengo la sospecha de que lo que le molesta no es realmente un problema técnico, pero más de un problema lingüístico, que tiene que ver con la forma geométrica de las pruebas (y, de hecho, las pruebas en general) están redactadas.
Tal vez usted ha visto las pruebas que se parecen a esto:
Teorema: la Propiedad P es verdadera para todos los círculos.
Prueba: Deja que C es un círculo. (...) Por lo tanto, la propiedad P es verdadera para C. QED.
Mirado superficialmente, parece que sólo hemos probado que P sea verdadera para que el círculo particular. Pero la cosa es, C fue sólo un círculo. Un arbitrario círculo. No nos dijimos "Vamos a C ser el círculo centrado en $(0.5, 6.3)$". En la prueba, sólo se utiliza hechos que son verdaderos de cualquier círculo, y por lo tanto la prueba funcionaría igual de bien, no importa que determinado círculo C es.
Esto no es específico de la geometría, es la manera en que las pruebas son escritas de las matemáticas en general.
Si la propiedad P se ha demostrado sólo en el círculo centrado en algún punto específico, entonces, por supuesto, esto sólo es cierto que el círculo. No es necesariamente cierto para los otros círculos, centrado en otros puntos.
Pero si P es demostrado por los círculos en general, no dependen de la posición del centro. Por lo tanto, es verdadera para todos los círculos, independientemente de dónde se encuentren en el centro.
En otras palabras, no hay absolutamente ninguna necesidad de "invariancia principio", si la prueba de la propiedad de no depender de ella.
Sin duda nos hacen suponer un principio de invariancia en la geometría. En pura geometría euclidiana, no estamos trabajando en términos de coordenadas, sino más bien en términos de objetos geométricos como líneas, puntos, círculos y así sucesivamente.
El presunto principio de invariancia es que no importa donde están esos objetos, es decir, que sólo su relativa de las posiciones de la materia. Tenga en cuenta que esto implica, lo que también asumimos que nuestro espacio se extiende de forma arbitraria la medida en todas las direcciones! Si hacemos la geometría en un pedazo de papel de un tamaño fijo, dos líneas no paralelas puede, por ejemplo, no se cruzan en ese papel.
