Hace un polinomio cúbico con 3 raíces reales tiene Galois grupo C3?

Question

Si una irreductible cúbicos polinomio con coeficientes en $\mathbb Q$ tiene el grupo de Galois $C_3$ a continuación, ya que el orden no $2$ simetría se encuentra en el grupo de Galois no compleja conjugación actúa sobre las raíces, las raíces deben ser real.

¿Qué acerca de lo contrario, debe $3$ bienes raíces implican $C_3$ grupo?

Answer 1

No.

Supongamos $f(x) = x^3 + ax + b$ (un cambio lineal de variables llevará a este formulario). Si $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ son las tres raíces de $f(x)$, luego $$\delta = (\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_3)$$ se encuentra en el fraccionamiento campo, y su plaza es el discriminante del polinomio, $\delta^2 = -4a^3 - 27b^2$.

Así que la división de campo contiene $\mathbb{Q}(\sqrt{\Delta})$, de ahí la división de campo tiene un grado $6$ $\mathbb{Q}$ cuando el discriminante es no racional de la plaza. De hecho, lo contrario también es: si la división de campo tiene un grado $6$, entonces el discriminante no es un cuadrado.

Por otro lado, la división de campo es verdadera si y sólo si el discriminante es positivo (ya que es igual a un cuadrado).

Así que para encontrar una irreductible cúbicos, cuya división de campo es completamente real, pero tiene grupo de Galois $S_3$, usted sólo tiene que encontrar un irreductible cúbicos cuyo discriminante es positivo y no un cuadrado. Por ejemplo, $f(x) = x^3 -4x + 1$; la única posibilidad racional de las raíces se $1$$-1$, por lo que es irreductible, y el discriminante es $$\Delta = -4(-4)^3 -27 = 229,$$ cual es positivo y no un cuadrado. Así que la división de campo es de grado $6$ y tiene un grupo de Galois $S_3$.

Answer 2

Sin una irreductible cúbicos con discriminante $D$ que $\sqrt{D}\notin\mathbb{Q}$, que es posible, incluso si todas las 3 raíces son reales, se tiene un grupo de Galois de $S_3$. Ver esta página.

Como se trabajó en la referencia, si $f$ es una irreductible cúbicos en $\mathbb{Q}[x]$ con discriminante $D$, entonces la división de campo de la $f$ $K=\mathbb{Q}(\alpha,\sqrt{D})$ donde $\alpha$ es cualquier raíz de $f$. Debido a $f$ tienen por lo menos una raíz real, tenemos que $D>0$ si y sólo si todas las tres raíces de $f$ son reales. Sin embargo, todavía habrá un pedido de 2 componentes de $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ si $\sqrt{D}\notin\mathbb{Q}$.