Definición de un monoid: una aclaración necesaria

Question

Estoy solo en la escuela secundaria, así que disculpe mi falta de familiaridad con la mayoría de estos términos!

Un monoid se define como "una estructura algebraica con una sola operación binaria asociativa y elemento de identidad."

Una operación binaria, a mi entender, es algo así como la suma, la resta, la multiplicación, la división, es decir, se trata de 2 miembros de un conjunto, en una sola operación, y el resultado de la tercer miembro dentro de ese conjunto. Y un elemento de identidad es un tipo especial de elementos de un conjunto, con respecto a una operación binaria en ese conjunto, que deja a los otros elementos sin cambios cuando se combina con las cosas. Algunos ejemplos son "$0$" como un aditivo de identidad y "$1$" como una identidad multiplicativa.

¿Cómo esta definición corresponde a una categoría con un solo objeto? ¿Cuáles son algunos ejemplos de monoids?

Answer 1

Primera definición(algebraica): Monoid es un par $(M,b)$ donde $M$ es un conjunto(llamado conjunto subyacente de monoid) y $b\colon M\times M\to M$ es una asignación(llamada operación binaria de monoid; para $m_1,m_2\in M$ denotar $b(m_1,m_2)=m_1\bullet m_2$), que satisface las siguientes dos propiedades:

1). para cualquier $m_1,m_2,m_3\in M$ la siguiente igualdad sostiene (asociatividad): $$(m_1\bullet m_2)\bullet m_3=m_1\bullet(m_2\bullet m_3).$$

2). existe $e\in M$(que se llama la identidad de monoid), que para cualquier $m\in M$ las siguientes igualdades: se $e\bullet m=m\bullet e=m$.

Es la definición estándar de monoid. Hay un montón de ejemplos de monoids, por ejemplo, cualquier grupo es un monoid. Sin embargo, hay monoids, que no son grupos.

Tienes razón, $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Z},\cdot)$ son monoids, sino $(\mathbb{Z},-)$ no es(porque, por ejemplo, $1-(1-1)\ne(1-1)-1$).

Si usted está familiarizado con la categoría de teoría, entonces usted puede obtener una gran cantidad de ejemplos naturales en diferentes categorías. La razón es la siguiente:

Deje $A$ ser una categoría, $a\in A$ ser su objeto. Entonces cualquier morfismos $f\colon a\to a$ llama un endomorfismo de $a$. Por lo tanto, podemos considerar el conjunto de todos los endomorphisms de objeto $a$, denota por $end(a)$. Tenga en cuenta que podemos compuesto de dos flechas en $end(a)$, por lo tanto, tenemos una operación binaria en $end(a)$! $$ \bullet\colon final(a)\times final(a)\a la final(a);\qquad f\bala g=f\circ g. $$ Es un monoid por la definición de la categoría.

Ahora usted puede tomar en cualquier categoría, por ejemplo,$\mathbf{Set}$, cualquier objeto, como por ejemplo $\mathbb{N}$(que es considerado, sin que su estructura algebraica), y se obtiene el monoid $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ de todas las funciones $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, que por supuesto no es un grupo(de verificación).

Ahora es fácil creer en la siguiente definición de una monoid:

Segunda definición(categoría de la teoría de la): Monoid es una categoría con un objeto.

De hecho, denotan por $x$ su único objeto, y, a continuación, $end(x)$ correspondiente monoid. Conversly, si usted tiene un monoid $(M,b)$, se puede definir una categoría $\mathbf{M}$ con el solo objeto, tal que $Arr(\mathbf{M})=M$, y la composición se define por la siguiente regla: $$ \forall f,g\in M:\;f\circ g=f\bala g. $$

Pero es, sin duda razonamiento intuitivo. Para hacer exacto de la declaración, que tengo que dar un poco más definiciones:

1). Deje $(M,\bullet_M)$ $(N,\bullet_N)$ son monoids. Monoid homomorphism es un mapeo $f\colon M\to N$, de tal manera que para todos los $m_1,m_2\in M$ el igualdades $f(m_1\bullet_M m_2)=f(m_1)\bullet_N f(m_2)$ $f(e_M)=e_N$ mantener. Es fácil comprobar que todos los pequeños monoids y sus homomorphisms formar una categoría llamada $\mathbf{Mon}$.

2). Vamos a denotar por $\mathbf{S}$ el total de la subcategoría de $\mathbf{Cat}$, que los objetos son las categorías con (fijo) solo objeto.

Ahora puedo formular la declaración exacta:

Declaración: categoría $\mathbf{Mon}$ de monoids es isomorfo a la categoría de $\mathbf{S}$.

Answer 2

Para tu primera pregunta, si se comparan los axiomas de un monoid y de una categoría, usted va a ver, son bastante similares (asociatividad e identidades). Así que si usted tiene una categoría con un objeto único, el endomorfismo anillo de este objeto será un monoid. Esto también se aplica de manera más general: Para cada categoría, el endomorfismo anillo de un objeto es una monoid.

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Para ejemplos de monoids: en Primer lugar, la de aquellos que ya están presentes en su explicación, por ejemplo,$(\mathbb{R},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},\cdot)$, $(\mathbb{R}\setminus \{0\},\cdot)$, $(\mathbb{N},+)$, etc.

Otro, quizá más exóticos ejemplo para un estudiante de secundaria que es la libre monoid. Está dada por las palabras en algunos alfabeto. Un alfabeto es sólo un conjunto de, por ejemplo,$\{a,b\}$. En este ejemplo palabras que incluyen, por ejemplo, $abaab$ o $baaabbba$. La operación binaria es dada por la concatenación de dos palabras, por ejemplo,$abaab\cdot baaabbba=abaabbaaabbba$. El elemento de identidad es aquí dada por la palabra vacía.

O, si usted toma la respuesta a su primera pregunta, y conectar como un ejemplo de la categoría de conjuntos y el objeto de los números reales. Usted obtener el conjunto de funciones de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$formar un monoid.