Hay un nonabelian topológico grupo de operación en los reales?

Question

Inspirado por Una operación binaria, se cerraron sobre los reales, que es asociativa, pero no conmutativa. Que la pregunta pide una no conmutativa semigroup operación $\Bbb R$, por lo que la proyección es un continuo de la solución. Si usted pide inversas, así, que es, un nonabelian grupo de operación, entonces usted puede utilizar bijection trucos de cualquier otro nonabelian grupo de cardinalidad $\frak c$, por ejemplo, el grupo de $M_2(\Bbb R)$ $2\times 2$ real de las matrices. Pero esto no se suele dar un continuo grupo de operación $\Bbb R$ debido a que el bijection es generalmente exóticas.

"Límite superior" las propiedades necesarias, de acuerdo a @PseudoNeo, si se requiere que el grupo de operación, no solo continua, sino $C_1$, entonces es necesariamente de la forma $x\ast y=\phi^{−1}(\phi(x)+\phi(y))$ algunos $C_1$ diffeomorphism $\phi$, lo cual es manifiestamente abelian. (Alguien tiene una referencia para este resultado?)

Mi pregunta se encuentra entre estos dos extremos:

Hay un nonabelian topológico grupo de operación en los reales? Es decir, un grupo de operación $\ast$ tal que $\ast:\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ es continua y así es ${}^{-1}:\Bbb R\to\Bbb R$.

Answer 1

Creo L. E. J. Brouwer mostró (en su tesis "Más de Grondslagen der Wiskunde", en holandés (1907), en un relativamente desconocido capítulo no publicados en otros lugares, AFAIK) que Hilbert problema en continuo "grupos" (es decir, grupos topológicos) siendo Mentira grupos fue cierto para el caso unidimensional, la línea real. Se cree que Brouwer añadido esto a añadir un poco de "seriedad" a la tesis (que también contenía algunos de los más controvertidos cosas sobre los fundamentos de las matemáticas).

Esta respuesta proporciona un argumento en el mismo sentido. Es bastante elemental, pero deja algunos detalles para comprobar.

Answer 2

Hay un maravilloso enlace a una primaria de la refutación en los comentarios. He aquí un completo absurdo enfoque.

1) Gleason-Montgomery-Zippin: cada grupo topológico cuyo subyacente espacio es un colector es en realidad una Mentira grupo (con respecto a algunas de las lisas de la estructura en el espacio topológico). Aquí está el absurdo completo - este es un hombre muy teorema con más de una década de trabajo va en ella.

2) Invocar la Mentira de grupo / Mentira álgebra de la correspondencia - simplemente conectado Mentira grupos canónica bijection con álgebras de Lie de la misma dimensión. Sólo hay un 1-dimensional Mentira álgebra, por lo que sólo una Mentira estructura de grupo en la $\Bbb R$.

Ahora que se esto, uno tiene la capacidad de probar una variedad de muy fuerte teoremas acerca de las estructuras de grupo en compacto de colectores (invocando la clasificación de los compactos Mentira grupos); una cosa que es particularmente bueno es que, por ejemplo, $T^n$ admite que una y sólo una estructura de grupo, y creo que de alguien que fue más cuidadoso que quiero ser ahora probablemente puedan obtener resultados similares para $SO(n)$, $U(n)$, etc.

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Tenga en cuenta que esto es falso ya en la dimensión 2: $\Bbb R^2$ puede ser dada la estructura del grupo de $\text{Aff}(1)$, las transformaciones afines de la línea, que no es abelian.