Inductivamente demostrar que esta secuencia de integrales es acotada.

Question

EDIT: tengo un intento de solución a este en un post de abajo, es muy largo, pero aún incompleta.

EDIT:Bien, tengo casi casi terminado mi solución, pero mi mayor problema es la 2ª integral, de más a la derecha de la desigualdad. No puedo encontrar una manera de evaluarlo y compararlo con el de n=1 caso por el superior de la integral, que debería darme lo que yo necesito.

EDIT: todavía pegado!

EDIT: 10 días más tarde, todavía necesito ayuda con esto..

Por favor alguien puede ayudarme con esto? Ni siquiera estoy seguro de dónde ir desde aquí.

Aquí está el problema:

---

Demostrar que

$$\frac{1}{2}<\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}\le0.52359,$$

para cualquier entero $n\ge1$,

Y que

$$\frac{1}{2}<\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4-x+x^{3}}}\le0.52359$$

---

Ahora puedo hacer esto por el $n=1$ de los casos, como, obviamente, esto simplemente se integra a $\arcsin{\frac{1}{2}}$ dar $\frac{\pi}{6}$, pero estoy completamente perplejo en cualquier hacer alguna más para esta pregunta.

Toda la ayuda muy apreciada, gracias por su tiempo.

Answer 1

En el interés de la integridad, y en el riesgo de duplicación, lo voy a incluir en mi de la solución de la primera parte de la pregunta. $$ \frac12\lt\int_0^{1/2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2n}}} $$ desde $1\lt\dfrac1{\sqrt{1-x^{2n}}}$$\left(0,\frac12\right)$.

Además, desde el $\dfrac1{\sqrt{1-x^{2n}}}\le\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$$\left(0,\frac12\right)$$n\ge1$, tenemos $$ \begin{align} \int_0^{1/2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2n}}} &\le\int_0^{1/2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}\\ &=\arcsin\left(\tfrac12\right)-\arcsin(0)\\ &=\frac\pi6\\[6pt] &\doteq0.5235987755983 \end{align} $$

---

Segunda Parte

$$ \frac12<\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-x+x^3}} $$ desde $\frac12\lt\dfrac1{\sqrt{4-x+x^3}}$$(0,1)$.

Además, $4-x+x^3$ es convexa en a $[0,1]$. Mirando sus tangentes en$0$$1$, y su mínimo en $[0,1]$,

$\hspace{3cm}$

tenemos $$ \frac1{\sqrt{4-x+x^3}}\le\min\left(\frac1{\sqrt{4-x}},\frac1{\sqrt{4-2/\sqrt{27}}},\frac1{\sqrt{2+2x}}\right) $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} &\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-x+x^3}}\\ &\le\int_0^{2/\sqrt{27}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-x}} +\int_{2/\sqrt{27}}^{1-1/\sqrt{27}}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-2/\sqrt{27}}} +\int_{1-1/\sqrt{27}}^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{2+2x}}\\ &=2\left(2-\sqrt{4-2/\sqrt{27}}\right) +\frac{1-3/\sqrt{27}}{\sqrt{4-2/\sqrt{27}}} +\left(2-\sqrt{4-2/\sqrt{27}}\right)\\ &=6-\frac{11-3/\sqrt{27}}{\sqrt{4-2/\sqrt{27}}}\\[6pt] &\doteq0.5182655150624\\[18pt] &\lt0.5235987755983 \end{align} $$

---

En Desigualdad Estricta

Supongamos que sabemos que $f(x)\le g(x)$ $[a,b]$ y $f(x)\lt g(x)$$(a,b)$. Si $f$ $g$ son continuos y $a\lt b$, entonces podemos elegir cualquier $a'$$b'$, de modo que $a\lt a'\lt b'\lt b$. $g-f$ es continua en el conjunto compacto $[a',b']$, por lo que alcanza su mínimo en $[a',b']$ que es $$ g(x)-f(x)\ge m\gt0\text{ para }x\in[a',b']\subgrupo de(a,b) $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \int_a^b(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x &\ge\int_{a'}^{b'}(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x\\ &\ge\int_{a'}^{b'}m\,\mathrm{d}x\\[6pt] &=m(b'-a')\\[12pt] &\gt0 \end{align} $$ de modo que tenemos la desigualdad estricta $$ \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\lt\int_a^bg(x)\,\mathrm{d}x $$

Answer 2

Primera nota de que el extremo izquierdo de la desigualdad es trivial, ya que $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}\geq 1$.

Ahora tenga en cuenta que para $x<1$, $x^{2(n+1)} = x^2x^{2n} \leq x^{2n}$. Por lo tanto $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2(n+1)}}}\leq\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}$ todos los $x<1$. Por lo tanto $\displaystyle\int_0^\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2(n+1)}}} \leq \displaystyle\int_0^\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^{2n}}}$. En el extremo derecho de la desigualdad sigue ahora por inducción.

Answer 3

Muy bien, aquí está mi intento de una solución completa, ¿alguien puede decirme si es correcto?

EDIT: en Algún lugar a lo largo del camino me doy cuenta de que tengo que salió mal, lo que se señala en este post.

---

Para la primera integral:

Trivialmente:

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}\ge1, \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}$$

A partir de aquí, se utiliza

$$\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}\ge\int_0^\frac{1}{2}dx=\frac{1}{2}$$

$$\implies \frac{1}{2}\le\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}} \forall n\in\mathbb{N}$$

[Nota, he probado el $\le$ relación aquí, pero no sé cómo también confirmar la $<$ relación entre la integral y $\frac{1}{2}$, cualquier ayuda aquí?]

Ahora, para $x \in[0,\frac{1}{2}],x^{2(n+1)}\le x^{2n}$

$$\implies \frac{1}{\sqrt{1-x^{2(n+1)}}}\le \frac{1}{\sqrt{1-x^{2n}}}\forall n\in\mathbb{N},x\in[0,\frac{1}{2}]$$

$$\implies\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2(n+1)}}}\le\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}\forall n\in\mathbb{N}$$

Con esta información, ahora podemos probar la declaración:

$$\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}\le0.52359,\forall n\in\mathbb{N}$$

Para $n=1$,

$$\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2(1)}}}=\left[\arcsin{x}\right]_0^\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\approx0.52359$$

Asumir la declaración de la verdad para $n=k$

$$\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2k}}}\le0.52359$$

Ahora, para $n=k+1$ sabemos:

$$\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2(k+1)}}}\le\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2k}}}\le0.52359$$

Por lo tanto

$$\frac{1}{2}\le\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2n}}}\le0.52359,\forall n\in\mathbb{N}$$

De nuevo, todavía no puedo probar la desigualdad estricta a la izquierda, a menos que ya tengo y no la puede ver.

---

Ahora para la segunda integral:

Para $x\in[0,1]$,$$4\ge 4-x+x^3\ge3$$

Como $x\ge x^3$

Así que sabemos que $$\sqrt{4}=2\ge\sqrt{4-x+x^3}$$

$$\implies \frac{1}{2}\le\frac{1}{\sqrt{4-x+x^3}}$$

$$\implies\frac{1}{2}=\int_0^\frac{1}{2}\frac{1}{2}dx\le\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{4-x+x^3}}$$

De nuevo, no puedo probar desigualdad estricta aquí, y agradecería mucho la ayuda para eso.

Ahora a por el de más a la derecha de la desigualdad.

Declaración:

$$\frac{1}{2}\left[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\right]=\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

La prueba de esto es muy trivial. La primera integral equivale a $\frac{\pi}{2}$, el segundo a $\frac{\pi}{6}$

De pasar, sabemos que $$\forall x\in[0,1], \sqrt{4-x+x^3}>\sqrt{1-x^2}, always.$$

$$\implies \frac{1}{\sqrt{4-x+x^3}}<\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Escribiendo esto, me he dado cuenta de que hice un gran error, y el resto de mi solución a esto es que ahora no válido.

Yo iba a ir a decir que $$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{4-x+x^3}}\le\frac{1}{2}\left[\int_0^1\frac{1}{\sqrt{4-x+x^3}}-\int_0^\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{4-x+x^3}}\right]\le\frac{1}{2}\left[\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\right]=\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$

Pero esto es claramente incorrecta. Cualquier ideas a nadie?

Ahora mismo estoy tratando de jugar con la relación de$$\frac{1}{3}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int_0^\frac{1}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$