En Milnor del famoso libro "la Topología de la Diferencial de punto de vista" demuestra el siguiente en la página 11:
Si $f: M\to N$ es un buen mapa entre los colectores de dimensión $m\geq n$ e si $y\in N$ es un valor regular, entonces el conjunto $f^{-1}(y) \subset M$ es un buen colector de dimensión $m-n$.
Derecho, por lo que he leído esta prueba previamente en otro libro (utiliza el rango teorema). No puedo sin embargo entender a un paso que hace aquí.
Prueba: Deje $x\in f^{-1}(y)$. Desde $y$ es un valor regular, el derivado $df_x$ mapa de $TM_x$ a $TN_y$. El espacio nulo $R \subset TM_x$ $df_x$ será, pues, una $(m-n)$-dimensional espacio vectorial. Si $M\subset \mathbb{R}^k$, seleccione lineal mapa de $L : \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{m-n}$ que es nonsingular en este subespacio $R\subset TM_x \subset \mathbb{R}^k$. Ahora definir
$F: M \to N\times\mathbb{R}^{m-n}$
por $F(\xi) = (f(\xi), L(\xi))$. El derivado $dF_x$ es claramente dado por la fórmula $dF_x(v) = (df_x(v), L(v))$. Por lo tanto $dF_x$ es nonsingular. Por lo tanto $F$ mapas de algunos vecindario $U$ $x$ diffeomorpically en un vecindario $V$$(y, L(x))$.
*Tenga en cuenta que $f^{-1}(y)$ corresponde, en virtud de $F$, para el hyperplane $y\times \mathbb{R}^{m-n}$. *
De hecho, $F$ mapas de $f^{-1}(y)\cap U$ diffeomorphically en $(y\times\mathbb{R}^{m-n})\cap V$. Esto demuestra que $f^{-1}(y)$ es un buen colector de dimensión $m-n$.
Así, no entiendo la parte que se encuentra entre el *'s. Creo que soy una especie de falta de algo obvio ...
