¿Por qué hay 12 pentágonos y 20 hexágonos en un balón de fútbol?

Question

Si se unen varias aristas de hexágonos se obtiene un plano. Si se unen los bordes de los pentágonos se obtiene un dodecaedro.

¿Se sabe por qué la alternancia de pentágonos y hexágonos da lugar a una esfera aproximada? ¿Es esto especial, o hay un número arbitrario de n-gons ¿conjuntos que pueden unirse para crear superficies regulares de tipo esférico?

Answer 1

Las posibles formas de juntar polígonos para formar un objeto similar a una esfera están limitadas por Fórmula de Euler $V - E + F = 2$ (donde $V$ es el número de vértices, $E$ es el número de aristas, y $F$ es el número de caras). De forma equivalente, se puede pensar en esto como una afirmación sobre gráficos planares .

Supongamos que utilizamos $f_3$ triángulos, $f_4$ cuadrados, $f_5$ pentágonos, etc. Cada arista se encuentra exactamente con dos caras, y una arista de tipo $f_n$ se encuentra con $n$ caras, así que contemos dos veces el número de pares de una arista y una cara junto a ella: por un lado, esto es $2E$ y por otro lado, esto es

$$3f_3 + 4f_4 + 5f_5 + ...$$

Introduciendo esto en la fórmula de Euler se obtiene $V - \frac{f_3 + 2f_4 + 3f_5 + ...}{2} = 2$ . Si además el poliedro es convexo y los polígonos son regular hay restricciones sobre las caras que pueden coincidir en cada vértice que provienen del hecho de que los ángulos deben sumar menos de $360^{\circ}$ . (Esta es una forma de demostrar la clasificación de los sólidos platónicos.) Por ejemplo, a lo sumo $5$ las caras pueden encontrarse en cada vértice si permitimos caras arbitrarias; esto significa $3f_3 + 4f_4 + ... \le 5V$ . (Si realmente quieres, puedes permitir que seis triángulos se toquen en un punto, pero yo sólo contaría esto como un hexágono). Si no permitimos los triángulos, exactamente $3$ las caras se encuentran en cada vértice; esto significa que $4f_4 + 5f_5 + ... = 3V$ .

He aquí una aplicación en química: un fullereno es un determinado tipo de molécula formada por átomos de carbono. (Una de ellas, el buckyball, se parece a un balón de fútbol.) Da lugar a un poliedro convexo en el que cada cara es un pentágono o un hexágono regular. Esto da $V - \frac{3f_5 + 4f_6}{2} = 2$ por un lado, y $3V = 5f_5 + 6f_6$ en el otro. El conjunto de estas ecuaciones da $f_5 = 12$ y $V - 2f_6 = 20$ En otras palabras, cualquier fullereno debe tener exactamente doce pentágonos .

(Los hexágonos son especiales. Una forma de interpretar este resultado es que un plano infinito puede ser embaldosado con hexágonos, por lo que los hexágonos corresponden a una curvatura nula, mientras que los pentágonos, al tener un ángulo menor en cada vértice, corresponden a una curvatura positiva. Lo que la afirmación anterior dice, a grandes rasgos, es que la cantidad total de curvatura es una constante. Esta es una forma simple de la Teorema de Gauss-Bonnet que está estrechamente relacionada con la fórmula de Euler).

Aquí hay otras cosas que puedes demostrar, de nuevo bajo los supuestos de convexidad y regularidad:

• Si sólo utiliza triángulos (en lugar de triángulos y hexágonos), entonces $f_3 \le 20$ y $4 | f_3$ .
• Si sólo utiliza cuadrados, entonces $f_4 = 6$ .
• No se pueden utilizar sólo hexágonos o más. (En la imagen de Gauss-Bonnet, intentar usar heptágonos corresponde a una curvatura negativa, y la curvatura negativa no interactúa bien con la geometría euclidiana o esférica; la configuración natural para juntar heptágonos es, en cambio geometría hiperbólica .)

Esto es ya la mayor parte del camino hacia la clasificación de los sólidos platónicos. Si estás interesado en aprender más sobre la fórmula de Euler, te recomiendo encarecidamente el libro de David Richeson Gema de Euler . Extremadamente bien escrito e informativo. También podría disfrutar de la obra de David Eppstein Diecinueve maneras de demostrar la fórmula de Euler .

Answer 2

La forma del balón de fútbol se puede formar mediante truncar un icosaedro -si se corta cada uno de los 12 vértices, dejará una cara pentagonal y hará que cada una de las 20 caras triangulares se convierta en hexagonal.

Answer 3

Probablemente le interese el Sólidos platónicos , Sólidos de Arquímedes , Sólidos catalanes y algunos de los Sólidos Johnson .

Answer 4

Un icosaedro es un sólido platónico que tiene 20 caras triangulares equiláteras congruentes ( $F=20$ ), 30 aristas ( $E=30$ ) cada cinco se reúne en cada vértice y 12 vértices idénticos ( $V=12$ ) que se encuentra en la superficie esférica (con un radio determinado).

Cuando un icosaedro se trunca (parcialmente) en sus 12 vértices, cada una de las 20 caras triangulares se convierte en un hexágono y cada uno de los 12 vértices produce una nueva cara petagonal. Así, un icosaedro truncado tiene 12 pentágonos regulares y 20 hexágonos regulares.

Mientras que el proceso de truncamiento produce $12\times 5=60$ nuevos vértices & $12\times 5=60$ nuevas aristas además de sus 30 aristas originales. Por lo tanto, tiene un total de $60+30=90$ aristas. Para un icosaedro truncado, $F=12+20=32$ , $E=90$ & $V=60$ que satisface debidamente la fórmula de Euler ( $F+V=E+2$ ). También se le llama sólido de Arquímedes.

Un balón de fútbol es análogo a un icosaedro truncado. Por lo tanto, tiene 12 petagones (regulares) y 20 hexágonos (regulares).