Como mis amigos y yo estábamos estudiando para nuestro análisis real examen final ayer estuvimos jugando con varios ejemplos y nos encontramos haciendo esta pregunta:
El espacio de $\ell^1(\mathbb{N})$ es el doble de $c_0(\mathbb{N})$, y el doble de $\ell^1(\mathbb{N})$$\ell^\infty(\mathbb{N})$.
Es posible tener una secuencia $\{b_n\}\in\ell^1(\mathbb{N})$ convergen a $b\in\ell^1(\mathbb{N})$ débilmente*, pero no débil?
Sabíamos que el débil y débil* topologías de acuerdo en un espacio reflexivo, y debido a $\ell^1(\mathbb{N})$ es no-reflexiva, nos preguntamos si el débil y débil* topologías de acuerdo.
El análisis de las definiciones, esto es sólo preguntar si hay una secuencia $\{b_n\}\in\ell^1(\mathbb{N})$ tal que, para cualquier $r\in c_0(\mathbb{N})$, tenemos $$\sum_{k=1}^\infty (b_n)_kr_k\to\sum_{k=1}^\infty b_kr_k\quad \text{ as }n\to\infty,$$ pero para algunos $s\in \ell^\infty(\mathbb{N})$, $$\sum_{k=1}^\infty (b_n)_ks_k\nrightarrow\sum_{k=1}^\infty b_ks_k\quad \text{ as }n\to\infty.$$ WLOG, podemos dejar que tome $b=0$ (sólo restará $b$ de todas las $b_n$), por lo que este se convierte en:
Hay una secuencia $\{b_n\}\in\ell^1(\mathbb{N})$ tal que, para cualquier $r\in c_0(\mathbb{N})$, tenemos $$\sum_{k=1}^\infty (b_n)_kr_k\to 0\quad \text{ as }n\to\infty,$$ pero para algunos $s\in \ell^\infty(\mathbb{N})$, $$\sum_{k=1}^\infty (b_n)_ks_k\nrightarrow 0\quad \text{ as }n\to\infty ?$$
No hemos podido encontrar ninguna ejemplos, pero por supuesto eso no quiere decir que no hay ninguna. También, sólo para comprobar, estábamos en lo cierto al suponer que es suficiente para comprobar si el débil y débil* la convergencia de las secuencias acordó con el fin de determinar si el débil y débil* topologías de acuerdo?
