¿Por qué una rama cortada de no terminar en un punto de ramificación?

Question

Ambos Wikipedia y MathWorld (aquí y aquí) parecen hacer algunos imporantance diciendo, pero no a la elaboración de los

Cabe señalar que los extremos de los cortes de ramas no son necesariamente los puntos de ramificación.

Cuando tendría sentido tener una rama cortada que termina en un no-rama punto?

Es sólo porque uno puede inventar falsos casos tales como $$ f(z) = $$\begin{cases} 1 & |z| < 1 \\ 2i & |\Im(z)| > 2 \\ z & \text{otherwise} \end{cases}$$ , con una "rama" de corte sin fin a lo largo de la unidad de círculo, y otro que va desde el infinito hasta el infinito? O hay más?

Answer 1

Hmm, aquí está uno que es acreedor:

El lacunary función de $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n!}$ está definido en la unidad de disco y tiene singularidades en cada punto en el círculo unitario. Ahora, la función $$g(z) = f(e^{-\sqrt z})$$ donde la raíz cuadrada es el habitual director de la raíz cuadrada, se define en el plano complejo excepto para el (cerrado) eje real negativo.

Entonces uno podría considerar la posibilidad de la negativa del eje real a ser una rama de corte para $g$. O tal vez no; eso depende de lo que uno toma "de la rama de corte" para la media y la seriedad con que se toma el requisito (en tanto la Wikipedia y de Wolfram definiciones) que la función debe ser "multi-valor".

En cualquier caso, su punto final en $0$ es definitivamente no es un punto de ramificación: uno no puede continuar la función analíticamente a lo largo de cualquier curva cerrada alrededor de $0$.

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Alternativamente, y de forma menos dramática, que se puede considerar $$h(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{z+1/n}}{2^{-n}}$$ donde de nuevo todas las raíces cuadradas son los principales. Aquí la discontinuidad a lo largo del eje real negativo es en realidad un " bona fide de la rama de corte en todos, excepto countably muchos puntos, pero el punto final a $0$ no es un punto de ramificación.