Demostrar que la composición de funciones diferenciables es diferenciable.

Question

Demuestra que la composición de funciones diferenciables es diferenciable. Es decir, si $f$ es diferenciable en $z$ y si $g$ es diferenciable en $f(z)$, entonces $g\circ f$ es diferenciable en $z.

Mi intento: Empiezo con $g(f(z+h))g(f(z))=[g'(f(z))+\epsilon $]$[f(z+h)f(z)]$ donde $\epsilon0$ a medida que $h 0$ ¿Alguien podría ayudarme con este ejercicio?

Answer 1

Esto es increíblemente fácil de probar si se tiene el siguiente resultado:

Si una función $f$ es diferenciable en $a$, entonces existe una función continua $\varphi$ definida en un intervalo $[-\epsilon,\epsilon]$ tal que $\varphi(0)=0$ y

$$ f(a+h) = f(a) + f'(a)h + \varphi(h)h, $$

para todo $h \in (-\epsilon,\epsilon)$.

Y si tal $\varphi$ continua existe de modo que

$$ f(a+h) = b + \alpha h + \varphi(h)h, $$

para todo $h \in (-\epsilon,\epsilon)$, entonces $f$ es diferenciable en $a$ con $f'(a) = \alpha$.

La regla de la cadena sigue por cálculo directo: $(g \circ f)(a+h) = g(f(a+h))$, usa que $f$ es diferenciable para escribir $f(a+h)$ como $f(a) + f'(a)h + \varphi_f(h)h$, y luego llama "$f'(a)h + \varphi_f(h)h$" a $k$ y utiliza que $g$ es diferenciable.

Se necesita un poco de organización para asegurarse de que existan intervalos apropiados alrededor de $0$ para las funciones continuas auxiliares, pero no es tan malo.

Lo mejor de esta demostración es que se generaliza inmediatamente a funciones de $\mathbb R^m$ a $\mathbb R^n$.

Answer 2

Define $$h(y)=\begin{cases} \frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} &\text{si $y \neq y_0$}\\ g'(y_0) &\text{si $y=y_0$.}\end{cases}$$ Luego puedes escribir el cociente diferencial para $g \circ f$ en $x_0$ (con $y_0=f(x_0)$, por supuesto) y pasar al límite cuando $x \to x_0$. El "truco" es que $h$ es continua en $y_0. Por favor, ten en cuenta que esta demostración es totalmente equivalente a la que tú sugieres. Históricamente, se basa en la definición de la derivada de Weierstrass: la función $f$ es diferenciable en $x_0$ si existe una función $\omega$, continua en $x_0$, tal que $$f(x)=f(x_0)+\omega(x)(x-x_0)$$ para cada $x$ en algún vecindario de $x_0$. Con esta definición (equivalente), la regla de la cadena es simplemente la continuidad de la composición.