Modelo de ZF + $\neg$ C en el que falla el Teorema de Solovay sobre conjuntos estacionarios?

Question

Es un teorema de Solovay que cualquier subconjunto estacionario de un cardinal regular, $\kappa$ puede descomponerse en una unión disjunta de $\kappa$ muchos conjuntos estacionarios disjuntos. Por lo que sé, la prueba requiere el axioma de elección. Pero ¿hay alguna manera de obtener un modelo, por ejemplo un modelo interno canónico, en el que ZF + $\neg $ ¿Cumple C y falla el Teorema de Solovay?

Me interesa este problema porque el teorema de Solovay puede utilizarse para demostrar la inconsistencia de Kunen, es decir, que no hay ninguna incrustación elemental j:V -->V, donde se permite que j sea cualquier clase, bajo GBC. La inconsistencia de Kunen puede verse como un límite superior en la jerarquía de los cardinales grandes. Sin elección, nadie ha demostrado todavía la inconsistencia de Kunen (aunque se puede demostrar sin elección si nos restringimos a j definibles). Así que si hay esperanza de demostrar el Teorema de Solovay sin elección, podríamos utilizarlo para demostrar la inconsistencia de Kunen sin elección.

Answer 1

El Axioma de Determinación (AD) implica que el club filtro en $\omega_1$ (los subconjuntos de a $\omega_1$ que contiene un club) es un ultrafilter. Ciertamente, si ese es el caso, ni siquiera podemos descomponer $\omega_1$ en dos distintos conjuntos estacionarios, debido a que uno de ellos tendría que contener un club. Suponiendo que suficientes gran cardenal hipótesis (infinitamente muchos Woodin cardenales y un cardinal medible por encima de ellas) uno tiene que $L(\mathbb{R})$ satisface AD, y por lo tanto que es un canónica interior del modelo de la forma creo que usted está buscando.

¿Qué acerca de por encima de $\omega_1$? Creo que es un teorema de John Steel, que (de nuevo bajo el gran cardenal de hipótesis) en $L(\mathbb{R})$ regular $\kappa$ bajo$\Theta$, $\omega$- club de filtro en $\kappa$ es un ultrafilter. ($\omega$- Club es un conjunto ilimitado cerrado bajo contables de los límites). Así, por ejemplo $\kappa$ el inmóvil conjunto de los números ordinales de contables cofinality no puede ser dividido en dos distintos conjuntos estacionarios. Yo no sé acerca de la introducción de Solovay del teorema a fallar en los cardenales más que eso.

También, que asume algunos de los grandes cardenales. No sé si el gran cardenal supuestos son necesarios para conseguir que el fracaso de Solovay del Teorema.

Answer 2

A mí me parece que la opción es usado en una manera crucial en Solovay del teorema. No sé si hay alguna prueba sin opción.