Evaluar $\int \frac{1}{\sin x\cos x} dx$

Question

Pregunta: ¿Cómo se evalúan $\displaystyle \int \frac{1}{\sin x\cos x} dx$

Sé que la respuesta correcta puede ser obtenido haciendo:
$\displaystyle\frac{1}{\sin x\cos x} = \frac{\sin^2(x)}{\sin x\cos x}+\frac{\cos^2(x)}{\sin x\cos x} = \tan(x) + \cot(x)$ e integrar.

Sin embargo, haciendo la siguiente obtiene una completamente diferente respuesta: $$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sin x\cos x} dx &=&\int \frac{\sin x}{\sin^2(x)\cos x} dx\\ &=&\int \frac{\sin x}{(1-\cos^2(x))\cos x} dx. \end{eqnarray*}$$ deje $u=\cos x, du=-\sin x dx$; a continuación, $$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sin x\cos x} dx &=&\int \frac{-1}{(1-u^2)u} du\\ &=&\int \frac{-1}{(1+u)(1-u)u}du\\ &=&\int \left(\frac{-1}{u} - \frac{1}{2(1-u)} + \frac{1}{2(1+u)}\right) du\\ &=&-\ln|\cos x|+\frac{1}{2}\ln|1-\cos x|+\frac{1}{2}\ln|1+\cos x|+C \end{eqnarray*}$$

He probado ambos resultados en Mathematica, y el primer método obtiene la respuesta correcta, pero el segundo método no. ¿Hay alguna razón por la que este segundo método no funciona?

Answer 1

Si puedo tomar la derivada de la segunda respuesta ( $g(x)$ ), me sale: $$\begin{eqnarray*} \frac{dg}{dx} & = & -\frac{-\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{2(1-\cos x)} + \frac{-\sin x}{2(1+\cos x)}\\ & = & \frac{\sin x\left(1-\cos^2 x + \frac{1}{2}\cos x(1+\cos x) - \frac{1}{2}\cos x(1-\cos x)\right)}{\cos x(1-\cos x)(1+\cos x)}\\ & = & \frac{\sin x\left( 1- \cos^2 x + \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos^2 x - \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2}\cos^2 x\right)}{\cos x(1-\cos^2 x)}\\ & = & \frac{\sin x}{\cos x\>\sin^2 x} = \frac{1}{\cos x\sin x}. \end{eqnarray*}$$ Así que no estoy seguro de por qué Mathematica dice el segundo método no es "la respuesta correcta".

Answer 2

Tomar registro de $\rm\ sin^2(x)\ =\ 1 - cos^2(x)\ = (1-cos(x))\ (1+cos(x))\ $ se muestra en ambas respuestas idénticas

Answer 3

El segundo método da la misma respuesta que la primera. Por el primer método, la respuesta que se obtiene es $-\log(\cos x) + \log(\sin x)$. El primer término es el mismo como lo que se obtiene por el segundo método.

Lo que hay que mostrar es que el $\log(\sin x) = \frac{1}{2}\log(1-\cos x) + \frac{1}{2}\log(1+\cos x)$.

$$\begin{equation} \begin{split} \frac{1}{2}\log(1-\cos x) + \frac{1}{2}\log(1+\cos x) &= \frac{1}{2}\left( \log(2 \sin^2 \frac{x}{2}) + \log(2 \cos^2 \frac{x}{2})\right)\\ & = \log(2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}) \end{split} \end{equation}$$

Answer 4

La tangente de la mitad de ángulo de sustitución

$$\displaystyle \int \frac{1}{\sin x\cos x} dx=\displaystyle \int \frac{(1+t^2)}{t(1-t^2)} dt=\displaystyle \int \frac{1}{t} dt-\displaystyle \int \frac{1}{1-t} dt-\displaystyle \int \frac{1}{1+t} dt$$