La fórmula para la longitud de onda de de Broglie de un electrón es correcto?

Question

Por lo tanto, tengo mis exámenes de física en una semana, y al revisar me estaba confundido por la explicación de la longitud de onda de de Broglie de los electrones en mi libro. En primer lugar, se afirmó que la ecuación fue: $\lambda = \frac{h}{p}$ donde $h$ es la constante de Planck, y $p$ es el momentum de la partícula. Más tarde, sin embargo, cuando se habla de difracción de electrones y encontrar los ángulos de los mínimos, el autor dio la fórmula equivalente a la de la luz: $\lambda = \frac{hc}{E}$. Ahora, lo que yo no entiendo es si se trata simplemente de un error cometido por el autor, o si la fórmula tiene que ser utilizada para la difracción de electrones, como los dos fórmulas son muy claramente no es equivalente. En el último caso, no entiendo por qué la fórmula sería diferente. Agradezco enormemente la ayuda, como los exámenes están muy cerca, y me gustaría asegurarme de que estoy en lo correcto!

Editar: Me dijeron que las imágenes de texto está tomando lejos de la legibilidad de los mensajes, y por lo tanto se han eliminado. Esencialmente, la diferencia entre los dos casos es que en el primer caso, el protón no tiene ningún gran energía cinética, mientras que en el segundo ejemplo, la energía cinética se $400\ MeV$.

Answer 1

A menudo, cuando se trabaja con alta energía (relativista) de las partículas de la masa de reposo de la partícula puede ser descuidado cuando la realización de cálculos. El uso de la expresión para $p$ a partir de consideraciones relativistas, conecte los números y ver el cambio insignificante cuando se incluyen y dejar de incluir la masa de los electrones.

Un buen consejo para cuando entren en física en nivel superior/astrofísica: aproximaciones se hacen todo el tiempo, donde los términos de orden superior se ve descuidado.

Answer 2

Como la energía de los electrones en ese caso es mucho mayor que su masa, se puede considerar que la aproximación a $E \sim pc$. Así que las fórmulas son equivalentes.

Answer 3

El 4-vector de impulso está dado por ${\bf p}=(\frac{E}{c},p^{1},p^{2},p^{3})$. Ahora tomando el producto escalar con sí tenemos, \begin{equation} {\bf{p.p}}=E^2-(pc)^2=m_{0}^2c^4 \end{equation} Ahora extremadamente relativista caso , podemos utilizar la condición de que $E\gg m_0c^2$, por lo que este rendimientos $p=\frac{E}{c}$.

Answer 4

El impulso de un electrón, que no viaja a una velocidad muy alta no tendrá efectos relativistas. Por lo tanto, su impulso está dado por

$$p=m_0v$$

donde $m_0$ es el resto de la masa del electrón, ( $9.1\times 10^{-31}~\rm kg$ ) y $v$ es la velocidad.

Pero para observar fenómenos como la difracción (que observó con radiaciones como los rayos X), la energía de los electrones debe ser algo en la energía de las radiaciones. El observó el nivel de energía es de alrededor de $400~\rm MeV$. Para lograr que la cantidad de energía que el electrón se mueve a velocidades relativistas y puede ser considerado como una radiación de alta energía. En ese caso, el momentum relativista del electrón está dada por

$$p=\gamma\, m_0v$$

donde $$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Para tener una energía de alrededor de $400~\rm MeV$, el electrón es tener un impulso de alrededor de $1.33~\rm MeV/c$. A partir de este valor, la velocidad de los electrones será de alrededor de $0.933~\rm c$ que es aproximadamente la $93\%$ de la velocidad de la luz. En que gran parte alta velocidad, el electrón se comporta como una radiación. Es propiedades de onda de inicio de dominar la cual es necesaria para la difracción a suceder. Así que no hay ningún problema en el uso de la ecuación de la radiación.