Supongamos que estamos en una categoría con todos los push-outs y pull-backs.
¿Es cierto que el empuje del diagrama de retroceso $X\leftarrow X\times_T Y\rightarrow Y$ formado por las dos proyecciones es isomorfo a $T$ ?
Respuesta
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No siempre.
Consideremos la categoría de grupos; en la categoría de grupos, el pullback es el producto fibrado, y el pushout es el producto libre amalgamado.
Dejemos que $X = Y$ sea no trivial, $T=X\times Y$ y tomar los mapas $X\to T$ y $Y\to T$ para ser las inmersiones canónicas. El pullback es $$\{ (x,y)\in X\times Y\mid (x,1)=(1,y)\} = \{(1,1)\}.$$ Por tanto, el pushout del pullback es el pushout del diagrama que incrusta el grupo trivial en ambos $X$ y $Y$ pero este empuje es el producto libre de $X$ y $Y$ no su producto directo.
Añadido.
Sin embargo, el pullback de un pushout ya es un pushout, y el pushout de un pullback ya es un pushout.
Es decir: supongamos que $$\begin{equation*}\begin{array}{rcl} Z&\stackrel{g}{\longrightarrow}&Y\\ {\scriptstyle f}\downarrow&&\\ X&& \end{array}\qquad\qquad\qquad(1)\end{equation*}$$ es un diagrama, y $(p_X,p_Y,T)$ es el empuje: $$\begin{equation*}\begin{array}{rcl} Z&\stackrel{g}{\longrightarrow}&Y\\ {\scriptstyle f}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle p_Y}\\ X&\stackrel{p_X}{\longrightarrow}&T \end{array}\qquad\qquad\qquad(2)\end{equation*}$$ Ahora forma el pullback de $(X,Y,T)$ : $$\begin{equation*}\begin{array}{ccl} X\times_T Y&\stackrel{q_Y}{\longrightarrow}&Y\\ \!\!\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle q_X}\downarrow&&\downarrow{\scriptstyle p_Y}\\ \!\!\!\!X&\stackrel{p_X}{\longrightarrow}&T \end{array}\qquad\qquad(3)\end{equation*}$$ Entonces (3) es un diagrama de empuje.
De hecho, hay que tener en cuenta, en primer lugar, que como $p_yg = p_Xf$ (por (2)), por la propiedad universal del pullback hay una flecha única $u\colon Z\to X\times_T Y$ tal que $g=q_Yu$ y $f=q_Xu$ .
Ahora dejemos que $C$ sea un objeto cualquiera, y que $a\colon X\to C$ , $b\colon Y\to C$ sean flechas tales que $aq_X = bq_Y$ . Por lo tanto, $aq_Xu = bq_Yu$ Por lo tanto $ag = bf$ . Por la propiedad universal del pushout (usando (2)), hay una flecha única $v\colon T\to C$ tal que $a=vp_X$ y $b=vp_Y$ . Pero esto es precisamente lo que necesitábamos demostrar para establecer que (3) es un diagrama de empuje.
El doble argumento también es válido.
Realmente estamos haciendo tres "operaciones" aquí: Esencialmente estoy diciendo que "pullback2(pushout(pullback1)) = pullback1" y "pushout2(pullback(pushout1))=pushout1". El ejemplo anterior no es válido porque el diagrama del que parto no es ya un pushout.
