Primero esto no es cierto si no nos suponga algún tipo de separación de los axiomas en los espacios de $Z_n$. Así que supongamos que $Z_n$ todos los $T_1$-espacios.
Para ser totalmente riguroso, voy a recordar las diversas definiciones.
Nos deja denotar por $Z_0\stackrel{f_0}\rightarrow Z_1\stackrel{f_1}\rightarrow Z_2 \rightarrow \cdots$ la secuencia dada.
$\bullet$ Recordar que $\textbf{hocolim}_n\Omega Z_n$ se obtiene de la siguiente manera. Tenemos la inducida por la secuencia de la base de espacios : $\Omega Z_0\stackrel{\Omega f_0}\rightarrow \Omega Z_1\stackrel{\Omega f_1}\rightarrow \Omega Z_2\rightarrow \cdots$. Definir la asignación del cilindro $M_{n+1}$, para todos los $n\geq 0$, mientras que el pushout :
$$
\requieren{AMScd}
\begin{CD}
\Omega Z_n @>>> \Omega Z_n\times [n,n+1]\\
@V{\Omega f_n}VV @VVV \\
\Omega Z_{n+1} @>>> M_{n+1}.
\end{CD}
$$
Definir $Y_0=\Omega Z_0\times \{ 0\}$, e $Y_1=M_1$. Para todos los $n\geq 1$, definir :
$$Y_{n+1}=M_1\coprod_{\Omega Z_1\times \{ 1\}} M_2 \coprod_{\Omega Z_2\times \{2\}} \cdots \coprod_{\Omega Z_{n-1}\times \{n-1\}}M_n.$$
Aviso de que tenemos la homotopy equivalencias $r_n:Y_n\stackrel{\simeq}\rightarrow \Omega Z_n$, de manera tal que el siguiente diagrama conmuta para todos los $n\geq 0$ :
$$
\requieren{AMScd}
\begin{CD}
\Omega Z_n @<{\simeq}<{r_n}< Y_n\\
@V{\Omega f_n}VV @VV{inclusion}V \\
\Omega Z_{n+1} @<{\simeq}<{r_{n+1}}< Y_{n+1}.
\end{CD}
$$
A continuación,$\textbf{hocolim}_n\Omega Z_n=\textbf{colim}_nY_n=\left(\bigcup_{n\geq 0}\Omega Z_n\times [n,n+1]\right)/\sim$, donde se identificaron $(\lambda_n, n+1)$$\Omega Z_n\times [n,n+1]$$(\Omega f_n(\lambda_n), n+1)$, pero visto en $\Omega Z_{n+1}\times [n+1, n+2]$.
$\bullet$ Asimismo definimos $\textbf{hocolim}_nZ_n$$\textbf{colim}_nW_n$, donde $W_0=Z_0\times \{ 0\}$, $W_1=N_1$ y para todos los $n\geq 1$ :
$$W_{n+1}=N_1\coprod_{Z_1\times \{ 1\}} N_2 \coprod_{Z_2\times \{2\}} \cdots \coprod_{Z_{n-1}\times \{n-1\}}N_n,$$
donde $N_{n+1}$ es la asignación del cilindro se define como el pushout para $n\geq 0$ :
$$
\requieren{AMScd}
\begin{CD}
Z_n @>>> Z_n\times [n,n+1]\\
@V{ f_n}VV @VVV \\
Z_{n+1} @>>> N_{n+1}.
\end{CD}
$$
También tenemos homotopy equivalencias $s_n:W_n\stackrel{\simeq}\rightarrow Z_n$ que conmuta con las inclusiones $W_n\rightarrow W_{n+1}$.
$\bullet$ Ahora vamos a definir el natural mapa : $G:\textbf{hocolim}_n\Omega Z_n\rightarrow \Omega\textbf{hocolim}_n Z_n$. Según lo sugerido por Brian Rushton, definimos $G$ la siguiente manera. Definamos $g:\bigcup_{n\geq 0}\Omega Z_n\times [n,n+1]\rightarrow \Omega\textbf{hocolim}_n Z_n$ mediante la asignación de cada una de las $(\lambda_n, m)$ $\Omega Z_n\times [n, n+1]$ un mapa : $$I\rightarrow Z_n\times \{ m\} \stackrel{inclusion}\rightarrow Z_n\times [n,n+1] \stackrel{inclusion}\rightarrow \bigcup_{n\geq 0} Z_n\times [n,n+1]\stackrel{quotient}\rightarrow \textbf{colim}_nW_n,$$
por $t\mapsto (\lambda_n(t),m)$. Esto define nuestro mapa de la $g$ (obviamente continuo mediante la ley exponencial). Por supuesto : $g(\lambda_n, n+1)=g(\Omega f_n(\lambda_n),n+1)$ por las identificaciones en $\textbf{colim}_nW_n$. Entonces obtendremos nuestro único mapa $G$ por la propiedad de cocientes.
$\bullet$ Ahora, para cada $m\geq 0$ tenemos :
$$
\begin{array}{llll}
\pi_m(\textbf{hocolim}_n\Omega_nZ_n) & = & \pi_m(\textbf{colim}_nY_n) & \\
& \cong & \textbf{colim}_n\left(\pi_m(Y_n)\right) & \mbox{Here i am using that %#%#% are %#%#% spaces}\\
& \cong & \textbf{colim}_n\left(\pi_m(\Omega Z_n)\right) & \mbox{Using the homotopy equivalences %#%#%}\\
& \cong & \textbf{colim}_n\left(\pi_{m+1}(Z_n)\right) &\\
& \cong & \textbf{colim}_n\left(\pi_{m+1}(W_n)\right) & \mbox{Using the homotopy equivalences %#%#%}\\
& \cong & \pi_{m+1}\left(\textbf{colim}_nW_n\right) & \\
& \cong & \pi_m\left(\Omega \textbf{hocolim}_nZ_n\right). &
\end{array}
$$
Estos isomorphisms son exactamente el mapa de $Z_n$. Por lo tanto, $T_1$ es un débil equivalencia.
