Evaluación de la integral definida $\int_1^2\arcsin\left(\frac{4-3\sqrt{x^2-1}}{5x}\right)dx$

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$$\int_1^2\arcsin\left(\frac{4-3\sqrt{x^2-1}}{5x}\right)dx=\frac{\pi}{3}-2\text{arcsec}(\sqrt{5})+\log(2+\sqrt{3})$$

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Utilizando Sustitución trigonométrica

dejar $x=\sec\theta$

$\displaystyle\implies (i) 0\le \theta\le\pi$ utilizando el definición del valor principal

y $\displaystyle(ii)\frac{4-3\sqrt{x^2-1}}{5x}=\frac{4-3|\tan\theta|}{5\sec\theta}$

Método $1:$ Si $\displaystyle0\le \theta\le\frac\pi2,$

cuando $x=2, \theta=\text{arcsec}2=\frac\pi3$ cuando $x=1, \theta=\text{arcsec}1=0$

$\displaystyle\frac{4-3\sqrt{x^2-1}}{5x}=\frac45\cos\theta-\frac35\sin\theta=\sin\left(\arcsin\frac45-\theta\right)$ (utilizando este )

$$\implies\int_1^2\arcsin\left(\frac{4-3\sqrt{x^2-1}}{5x}\right)dx=\int_0^{\frac\pi3}\left(\arcsin\frac45-\theta\right)\sec\theta\cdot\tan\theta d\theta$$

Ahora integrando por partes,

$$\int \left(\arcsin\frac45-\theta\right)\sec\theta\cdot\tan\theta d\theta$$

$$=\left(\arcsin\frac45-\theta\right)\int\sec\theta\cdot\tan\theta d\theta-\int\left(\frac{d(\arcsin\frac45-\theta)}{d\theta}\cdot\int\sec\theta\cdot\tan\theta d\theta\right)d\theta$$

$$=\left(\arcsin\frac45-\theta\right)\sec\theta-\int\left(-1\cdot\sec\theta\right)d\theta$$

$$=\left(\arcsin\frac45-\theta\right)\sec\theta+\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C$$

Observe que $\displaystyle 2\text{arcsec}(\sqrt5) =2\arccos\frac1{\sqrt5}=\cos\left(\frac25-1\right)$ $\displaystyle=\cos\left(-\frac35\right)=\pi-\arccos\frac35=\pi-\arcsin\frac45$ como $\arccos x=+\arcsin\sqrt{1-x^2}\forall$ real $x$ basado en el valor principal de la relación del coseno inverso

Método $2:$ Si $\displaystyle \frac\pi2\le \theta\le\pi,\text{arcsec}(2)=?$

$$\frac{4-3\sqrt{x^2-1}}{5x}=\frac45\cos\theta+\frac35\sin\theta=\sin\left(\arcsin\frac45+\theta\right)$$

Answer 2

Encontré una respuesta de la solución de mi otra pregunta que es aquí . $$\begin{align}\int_1^2\arcsin\left(\frac{4-3\sqrt{x^2-1}}{5x}\right)\,dx&=\int_1^2\arcsin\left(\frac{\sqrt{x^2-1}+2+2-4\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{5}\sqrt{5}x}\right)\,dx\\ &=\int_0^{\pi/3}\arcsin(\sin(2\text{arcsec}(\sqrt{5})+\alpha))\tan(\alpha)\sec(\alpha)\,d\alpha\\ &=\int_0^{\pi/3}(\pi-2\text{arcsec}(\sqrt{5})-\alpha)\tan(\alpha)\sec(\alpha)\,d\alpha\\ &=\frac{\pi}{3}-2\text{arcsec}(\sqrt{5})+\log(2+\sqrt{3}).\end{align}$$