Convergencia/Divergencia de $\int_{0}^{1/e} \frac{\log \left(\frac{1}{x}\right)}{(\log^2 (x)-1)^{3/2}} \mathrm{dx}$

Question

Inicialmente quería calcular $$\int_{0}^{1/e} \frac{\log \left(\frac{1}{x}\right)}{(\log^2 (x)-1)^{3/2}} \mathrm{dx}$$ pero parece que Mathematica dice que la integral diverge. Pensé
algunos variable de cambio, pero también me pregunto si hay algo fácil de probar
que diverge. Cualquier sugerencia / sugerencia aquí sería precioso para mí. Gracias!

Answer 1

Trate de sustituir a $x=e^{-u-1}$ para obtener $$ \int_0^\infty\frac{u+1}{(u^2+2u)^{3/2}}e^{-u-1}\mathrm{d}u =\int_0^\infty\color{#00A000}{\frac{u+1}{(u+2)^{3/2}e}}\color{#C00000}{u^{-3/2}}\color{#0000FF}{e^{-u}}\mathrm{d}u $$ La parte en verde, es delimitado en el positivo de reales. $e^{-u}$ sería integrable en $\infty$, pero el factor de $u^{-3/2}$ no es integrable en $0$.

Por lo tanto, la integral no converge.

Answer 2

Haciendo el cambio de variables $ x=e^{-(t+1)} $ da

$$ \int _{0}^{\infty }\!{\frac { \left( t+1 \right) {{\rm e}^{t-1}}}{{ t}^{3/2} \left( t+2 \right) ^{3/2}}}{dt}. $$

El integrando se comporta como $c\,t^{-3/2}$$t \to 0 $.

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{0}^{1/\expo{}}{\ln\pars{1/x} \\bracks{\ln^{2}\pars{x} de {- 1}^{3/2}} \,\dd x:\ {\large ?}}$

Con $\ds{\pars{~x \equiv \expo{-t}\quad\imp\quad t = -\ln\pars{x}~}\quad}$$\ds{\quad\Lambda > \expo{}}$: \begin{align}&\color{#c00000}{% \int_{0}^{1/\Lambda}{\ln\pars{1/x} \over \bracks{\ln^{2}\pars{x} - 1}^{3/2}} \,\dd x} =\int_{\infty}^{\ln\pars{\Lambda}}{t \over \pars{t^{2} - 1}^{3/2}}\,\pars{-\expo{-t}\,\dd t} \\[3mm]&=-\int_{t\ =\ \ln\pars{\Lambda}}^{t\ \to\ \infty} \expo{-t}\dd\bracks{\pars{t^{2} - 1}^{-1/2}} ={1 \over \Lambda\root{\ln^{2}\pars{\Lambda} - 1}} -\int_{\ln\pars{\Lambda}}^{\infty}{\expo{-t} \over \root{t^{2} - 1}}\,\dd t \\[3mm]&={1 \over \Lambda\root{\ln^{2}\pars{\Lambda} - 1}} -\int_{\ln\pars{\Lambda}}^{1}{\expo{-t} \over \root{t^{2} - 1}}\,\dd t -\ \underbrace{\int_{1}^{\infty}{\expo{-t} \over \root{t^{2} - 1}}\,\dd t} _{\ds{=\ {\rm K}_{0}\pars{1}}} \end{align} donde $\ds{{\rm K}_{\nu}\pars{z}}$ es un Modiffied Función De Bessel. Ver ${\bf\mbox{9.6.23}}$.

El primer término, en el lado derecho, muestra claramente la divergencia: $$ {1 \over \Lambda\raíz{\ln^{2}\pars{\Lambda} - 1}} \sim {1 \over \raíz{2\expo{}}}\,{1 \over \pars{\Lambda \expo{}}^{1/2}}\,, \qquad \Lambda \gtrsim \expo{} $$