La topología en $X/{\sim}\times X/{\sim}$ no es inducido por $\pi\times\pi$ .

Question

Estoy buscando un ejemplo de un espacio topológico $X$ junto con una relación de equivalencia $\sim$ donde la topología del producto en $X/{\sim}\times X/{\sim}$ no es inducido por $\pi\times\pi$ como topología final, donde $\pi:X\to X/{\sim}$ es la proyección canónica.

Sé que las dos topologías coinciden cuando $\pi$ está abierto, por ejemplo $X=G$ un grupo topológico y $X/{\sim}=G/H$ para un subgrupo normal $H$ .

Answer 1

Equipar $\Bbb R$ con la topología $\tau=\{U\cup(V\setminus K)\mid U,V\text{ open in the Euclidean topology}\}$ , donde $$K=\left\{1,\tfrac12,\tfrac13,\dots\right\}$$ Esta es la topología más gruesa que contiene la euclidiana y tiene $K$ como un conjunto cerrado, y está generado por los conjuntos $(a,b)$ y $(a,b)\setminus K$ como base, donde $a$ y $b$ rango sobre los reales. Llama a este espacio $X$ .
Dejemos que $q:X\to Y$ sea el mapa cociente que colapsa $K$ a un punto, y denotamos por $Y\times_q Y$ el producto con la topología final de $q\times q$ . Demostraremos que existe un conjunto cerrado $C$ en $Y\times_q Y$ que no es cerrado en el espacio del producto $Y\times Y$ . Sea $$\textstyle C = (K\times K)\cup \Delta_X $$ Este conjunto es cerrado, ya que $K$ está cerrado y $X$ es Hausdorff. Nótese que $C$ es la relación de equivalencia inducida por $q$ y es fácil demostrar que para cualquier mapa $q$ la relación inducida está saturada con respecto a $q\times q$ . Así que $C$ es cerrado y saturado, y se deduce que $(q\times q)(C) = \Delta_Y$ es cerrado en el espacio cociente $Y \times_q Y$ . Ahora para $\Delta_Y$ que se cerrará en $Y\times Y$ Este espacio tiene que ser Hausdorff. Sin embargo, podemos demostrar que $\{0\}$ y $K$ no se pueden separar por barrios en $Y$ y lo hacemos demostrando que cualquier conjunto abierto $U$ y $V$ alrededor de $0$ y $K$ respectivamente, se cruzan.
Así que dejemos $\varepsilon$ y $\varepsilon_n$ sean números positivos tales que $$ 0 \in (\varepsilon,\varepsilon)\setminus K \subseteq U \\ \textstyle K \subset \coprod_{n=1}^\infty\left(\tfrac1n-\varepsilon_n,\;\tfrac1n+\varepsilon_n\right) \subseteq V $$ Elija los números naturales $k>\tfrac1\varepsilon$ y $m > \tfrac1{\varepsilon_k}+k(k+1)$ . Entonces $1/k - 1/m$ es un elemento de $\left(\tfrac1k- \varepsilon_k, \, \tfrac1k+\varepsilon_k\right) \cap (\varepsilon,\varepsilon)\setminus K$ Por lo tanto $U$ y $V$ se cruzan. Esto significa que $\Delta_Y$ no está cerrado en $Y \times Y$ y por lo tanto $Y \times Y$ no tiene la topología final con respecto a $q\times q$ .

La idea general aquí (que fue sugerida por t.b. en los comentarios aquí Aunque no había visto este comentario cuando escribí mi respuesta) es que tenemos un espacio Hausdorff no regular $X$ con un subconjunto cerrado $A$ que no puede separarse de un punto $x$ por barrios. A continuación, $\{x\}$ no puede separarse de $A$ en $X/A$ por lo que este espacio cociente no es Hausdorff. Entonces $\Delta_{X/A}$ no está cerrado aunque su preimagen $\Delta_X \cup A\times A$ en $q \times q$ está cerrado en $X \times X$ . Esto significa que $q \times q$ no es un mapa cociente.

Answer 2

Hay un ejemplo en la página 111 de Topología y Groupoides . Sea $h:\mathbb Q \to \mathbb Q / \mathbb Z$ se obtiene identificando los enteros en los racionales a un solo punto. Entonces se demuestra allí que $h \times 1_{\mathbb Q}$ no es un mapa de identificación.