¿Cuál es la separación de variables?

Question

Estaba abriéndome paso a través de un libro de física cuando el autor separó las variables de la ecuación de Schrödinger y perdí el hilo:

$$\Psi (x, t) = \psi (x) T(t)$$

¿Alguien puede por favor explicar cómo funciona y se utiliza esta técnica? Puede ser en matemáticas en general o en el contexto de este problema. Gracias

Answer 1

Algunas funciones (no todas) $\psi (x,t)$ pueden escribirse como un producto de una función de $x$ y otra función de $t$. Por ejemplo, $\psi (x,t)=xt$ puede serlo, mientras que $\psi_2 (x,t)=x^2+t^2$ no puede. El autor está suponiendo que esto dará como resultado una solución al problema y procederá a demostrar que así es. Después de cierta manipulación, la ecuación llega a algo como $f(x)=g(t)$ donde el lado izquierdo no depende de $t$ y el lado derecho no depende de $x. Luego se argumenta que dado que el lado izquierdo no depende de$t$, realmente el derecho tampoco y ambos lados deben ser iguales a alguna constante. Así que ahora estás resolviendo$f(x)=g(t)=c$. Como ecuaciones en variables individuales, suele ser más fácil. Demostrar que esto produce una solución es fácil. Demostrar que todas las soluciones vienen como una combinación lineal de soluciones de esta forma es más difícil.

Answer 2

En relación con su pregunta sobre la generalidad de la separación de variables, hay un enfoque extremadamente hermoso de teoría de Lie para la simetría, la separación de variables y las funciones especiales, por ejemplo, ver el libro [1] de Willard Miller. Cito de su introducción:

Este libro está relacionado con la relación entre las simetrías de una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden de la física matemática, los sistemas de coordenadas en los que la ecuación admite soluciones a través de la separación de variables, y las propiedades de las funciones especiales que surgen de esta manera. Es una introducción destinada a cualquier persona con experiencia en ecuaciones diferenciales parciales, funciones especiales o teoría de grupos de Lie, como teóricos de grupos, matemáticos aplicados, físicos y químicos teóricos y ingenieros eléctricos. Mostraremos algunas vueltas modernas de teoría de grupos en el antiguo método de separación de variables que se pueden utilizar para proporcionar una base para gran parte de la teoría de funciones especiales. En particular, mostraremos explícitamente que todas las funciones especiales que surgen a través de la separación de variables en las ecuaciones de la física matemática pueden estudiarse utilizando teoría de grupos. Estas incluyen las funciones de Lame, Ince, Mathieu y otras, así como las de tipo hipergeométrico.

Este es un momento muy crítico en la historia de los métodos de teoría de grupos en la teoría de funciones especiales. Las relaciones básicas entre los grupos de Lie, las funciones especiales y el método de separación de variables se han aclarado recientemente. Ahora se puede construir una máquina de teoría de grupos que, cuando se aplica a una ecuación diferencial dada de la física matemática, describe de manera racional los posibles sistemas de coordenadas en los que la ecuación admite soluciones a través de la separación de variables y los diversos teoremas de expansión relacionados con las soluciones separables (funciones especiales) en sistemas de coordenadas distintos. De hecho, para las ecuaciones lineales más importantes, las soluciones separadas se caracterizan como autofunciones comunes de conjuntos de elementos conmutativos de segundo orden en el álgebra englobante universal del álgebra de simetría de Lie correspondiente a la ecuación. El problema de expandir un conjunto de soluciones separables en términos de otro se reduce a un problema en la teoría de representación del álgebra de simetría de Lie.

Para un ejemplo de algoritmos efectivos de teoría de Lie para EDO de primer orden, consulte el artículo de Bruce Char [2], del cual se extraen las siguientes tablas útiles.

1 Willard Miller. Symmetry and Separation of Variables.
Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1977 (fuera de impresión)
http://www.ima.umn.edu/~miller/separationofvariables.html
http://gigapedia.com/items:links?id=64401

2 Bruce Char. Using Lie transformation groups to find closed form solutions to first order ordinary differential equations.
SYMSAC '81. Proceedings of the fourth ACM symposium on Symbolic and algebraic computation.
http://portal.acm.org/citation.cfm?id=806370