¿Hay anillos cuya identidad multiplicative no es el número 1 o en 1?

Question

La lectura de la definición básica de los anillos, me preguntaba si hay muestras de los anillos, cuya identidad multiplicativa no es el número 1 o el número 1 (por ejemplo, la matriz identidad es 1).

E. g. por $\Bbb Z$, si la definición de la multiplicación es modificada (la creación de un estándar de álgebra), podría el multiplicativo de identidad del anillo de ser otro número, o la definición de la multiplicación debe ser "canónica" y no debe ser modificado?

Hay un anillo (actualmente en uso por algún campo de las Matemáticas) de la muestra de la falta de base 1 multiplicativo de identidad?

Estoy aprendiendo por mi mismo, así que pido disculpas si la pregunta no tiene mucho sentido, gracias!

Actualización 2015/05/11: voy a incluir algunos enlaces a aquellas páginas wiki que fueron de gran utilidad para entender los conceptos escritos en las respuestas.

Elemento Idempotente

Grupo Abelian

Homomorphism

Elemento De Identidad

Sub-anillo

Answer 1

Consideren $S = \{0, 2, 4, 6, 8\} $ con la usual adición y la multiplicación modulo $ de $10. Entonces el elemento identidad es $6$.

Answer 2

Considerar el conjunto $R$ de matrices de $ $2\times2 de la forma $$ R = \left\ {\left(\begin{array}{cc}x&x\\x&x\end{array}\right)\big\vert\,x\in\Bbb {R} \right\}. $$ Las operaciones son la multiplicación de la matriz habitual y además. Lo dejo a usted para verificar que $R$ es un anillo, y que la matriz consigue estableciendo $x = 1/2$ es el elemento neutro multiplicativo de $R$.

Answer 3

Deje que $\Omega$ ser cualquier conjunto no vacío. Deje que $\mathfrak{P}(\Omega)$ denotar el poder de set (conjunto de todos los subconjuntos) de $\Omega$.

La diferencia simétrica $\Delta B$ por $a,B\subconjunto\Omega$ se define de la siguiente manera:

$\qquad\Delta B \equiv (A \barra invertida B) \cup (B \backslash$).

Ahora $(\mathfrak{P}(\Omega), \Delta \emptyset)$ es un grupo abelian y $(\mathfrak{P}(\Omega), \Delta \emptyset, \cap, \Omega)$ es un anillo conmutativo (con $\Delta$ además, $\emptyset$ cero, $\cap$ como la multiplicación, y $\Omega$ como la unidad de multiplicación).

No hay "número" de las entidades que participan en todo, todo se construyen utilizando sólo el más básico de la teoría de conjuntos. La unidad de la multiplicación es sólo un conjunto. El conjunto $\Omega$ podría ser cualquier cosa. Las familias de subconjuntos con ciertas propiedades que admitir que la anterior construcción se utilizan en la teoría de la medida y son llamados anillos. Sin embargo, el hecho de que estas familias son de los anillos en el sentido algebraico no es muy útil, es más como una curiosa coincidencia.

Por otra parte, el anillo resultante es esencialmente el mismo que $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{\Omega}$ con pointwise operaciones, de modo que $\Omega$ corresponde a la constante de la función $\Omega \mapsto 1$, por lo que tenemos "la cantidad de $1$" (mod 2) de nuevo. La pregunta por sí mismo no es muy significativo, porque siempre se puede tomar cualquier anillo de $\mathcal{R}$, llame a su unidad de multiplicación "1", y declarar que $\mathcal{R}$ es simplemente otro tipo de "números", por lo que su multiplicativo de la unidad se convierte en "número 1".

Answer 4

Sea $ $A un Grupo abeliano y $R$ el conjunto de los homomorphisms de $A$ a sí mismo. Entonces $ $R es un anillo en las operaciones de adición y función composición del pointwise y la identidad multiplicative es la asignación de identidad.

Answer 5

El anillo de $2\Bbb{Z}/10\Bbb{Z} = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ tiene $6$ como su identidad multiplicativa. Hay muchos ejemplos como este, pero muchos autores/matemáticos tienden a eliminar estos cuando se habla de los anillos por una buena razón: la inclusión de $2\Bbb{Z}/10\Bbb{Z} \hookrightarrow \Bbb{Z}/10\Bbb{Z}$ debe ser un anillo homomorphism, la asignación de $1 \mapsto 1$.

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Edit: a la dirección de comentarios y aclarar. Tiendo a pensar de anillo significado unital anillo y homomorphism a decir unital anillo homomorphism. De esta manera, se forma una categoría, que es una buena forma de pensar de los anillos y las formas en que se asignan a la una de la otra en forma de un sólido contexto. En muchas de las zonas ricas de álgebra (teoría de la representación de grupos, álgebras de Hopf, los grupos cuánticos, etc.) los anillos no sólo tienen unidades, pero counits así (más estructura!)

Sin embargo, hay situaciones en donde las unidades de análisis no están disponibles. Por ejemplo, $L^2(\Bbb{R})$, el espacio de funciones $f: \Bbb{R} \\Bbb{C}$ tal que $\int_\Bbb{R} \lvert f(x) \rvert^2 \, dx < \infty$ no tiene una identidad multiplicativa. La constante de la función $1$ no es cuadrado integrable. Y desde el arábigo $1$ se asemeja a la letra romana $i$ (especialmente en mayúsculas $I$), estos anillos sin multiplicativo de identidad son a veces llamados generadores de números aleatorios. :-)