Hay un bonito elementales de topología problema (la proposición) que es a menudo falta de los libros de introducción sobre el tema.
PROBLEMA. Deje $\varphi:\mathbb{S}^{1}\rightarrow\mathbb{S}^{1}$ ser un continuo auto-mapa del círculo de grado $\deg(\varphi)=d$. A continuación, $\varphi$ tiene al menos $|d-1|$ puntos fijos. (Por ejemplo, si $\varphi$ es una orientación revertir homeomorphism, entonces tiene al menos 2 puntos fijos - los 'monjes caminando en direcciones opuestas' problema).
Su lugar debe ser justo después de la noción de grado, grupo fundamental de la etc. En mi opinión, es un muy buen ejercicio, ya que combina los conceptos básicos, tales como grado, punto fijo, $\pi_{1}(\mathbb{S}^{1})$ y tiene aplicaciones útiles. Paradójicamente, veo que no está en el lugar apropiado ("grado", "fundamental grupo"), pero en el más pesado avanzado contexto de Nielsen teoría. Nielsen la teoría, a su vez, está a menudo ausente de la escuela primaria de la topología de libros. El disponible me están tratando con casi una y la misma lista de problemas (nice, por cierto), pero este parece no estar presente allí.
Así que mi pregunta es: ¿alguien sabe de una buena escuela primaria prueba de ello el problema de la proposición (sin hacer referencia a la avanzada de las cosas tales como el índice Nielsen la teoría más o menos). Todas las referencias son bienvenidos también. Gracias de antemano.
