Cómo probar que $\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}x=1$?

Question

Cómo probar que $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x}x=1?$$

Estoy buscando un método que además de L'Hospital de la regla.

Answer 1

Fuerte sugerencia: $$\displaystyle \lim \limits_{x\to 0}\left(\frac{\tan (x)}{x}\right)=\lim \limits_{x\to 0}\left(\frac{\tan (x)-0}{x-0}\right)=\lim \limits_{x\to 0}\left(\frac{\tan(x)-\tan(0)}{x-0}\right)=\cdots$$

Answer 2

Considere el círculo unitario con centro de $O$. Deje $A$ ser un punto fijo en la circunferencia. Deje $X$ ser un punto en la circunferencia tal que $\angle AOX = x$.

Vamos a la tangente en a $X$ se cruzan $OA$ extendido en $B$. Desde $\angle OXB = 90^\circ$ por lo tanto $BX = \tan x$.

Entonces, el área del sector $OAX$ $\frac{x\times 1^2}{2}$ y el área del triángulo $OXB$$\frac{1 \times \tan x}{2}$. Está claro que como $X$ tiende a $A$, el límite de estas áreas es $1$.

Answer 3

Con el fin de encontrar la derivada de $\sin x$, muchos de los cursos de análisis matemático empezar por demostrar, de alguna forma, que $$\lim \limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.\tag{1}$$

Si que es ya considerado como "conocido" en su curso, tenga en cuenta que, a menos que $\cos x=0$, tenemos
$$\frac{\tan x}{x}=\frac{1}{\cos x}\frac{\sin x}{x}.$$ Ahora podemos tomar el límite. El uso de (1) y el hecho de que $\cos x$ es continua en a $0$ y, por tanto,$\lim \limits_{x\to 0}\cos x=1$.

Answer 4

$$\tan { x } =x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 2{ x }^{ 5 } }{ 15 } +\cdots \\ \frac { \tan { x } }{ x } =\frac { x+\frac { { x }^{ 3 } }{ 3 } +\frac { 2{ x }^{ 5 } }{ 15 } +\cdots }{ x } =1+\frac { { x }^{ 2 } }{ 3 } +\frac { 2{ x }^{ 4 } }{ 15 } +\cdots \\ \lim _{ x\rightarrow 0 }{ \left( \frac { \tan { x } }{ x } \right) } =1$$O para la prueba geométrica ver:http://www.proofwiki.org/wiki/Limit_of_Sine_of_X_over_X/Geometric_Proof

Answer 5

Considere el siguiente círculo, con un regular $n$ lado del polígono interior:

Sabemos que si el polígono tiene más lados de su perímetro se acercará más al perímetro de un círculo. $$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { Perimeter\ of\ polygon }{ Perimeter\ of\ circle } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 2n\sin { \frac { \pi }{ n } } }{ 2\pi } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { \sin { \frac { \pi }{ n } } }{ \frac { \pi }{ n } } }=1. $$ Assume $x=\frac { \pi }{ n } $ then we get $$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { x } }{ x } } =1.$$We already know $\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \cos x } =1$, therefore $$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \tan { x } }{ x } } =1.$$