Mostrar que ${-n \choose i} = (-1)^i{n+i-1 \choose i} $

Question

Mostrar que ${-n \choose i} = (-1)^i{n+i-1 \choose i} $. Esta es una tarea de ejercicio tengo que hacer y yo no puedo empezar a trabajar en ella. El problema radica en la $-n$. Usando la definición de recibir: $${-n \choose i} = \frac{ (-n)!}{i!(-n-i)!}$$ Pero, ¿cómo puedo calcular el $(-n)!$ en esta expresión? Sé que la función Gamma podría ser utilizado, pero estoy seguro de que no es lo que se requiere de nosotros. ¿Alguien sabe cómo funciona esto? Tal vez es sólo una cuestión de definiciones? Gracias de antemano!

Answer 1

Cuando se trata con la parte superior de los números que no son enteros no negativos debe utilizar la definición

$$\binom{x}k=\frac{x^{\underline k}}{k!}=\frac{x(x-1)(x-2)\dots(x-k+1)}{k!}\;,\tag{1}$$

donde $x^{\underline k}$ es la caída de factorial. Es fácil comprobar que cuando se $x\in\Bbb N$, lo que concuerda con la definición que usted está utilizando. Y es bastante fácil para obtener el resultado deseado de $(1)$; si usted tiene cualquier problema con ella, simplemente dejar un comentario.

Answer 2

Sí, la cuestión de las definiciones:

Para cualquier real $\alpha$ y un entero no negativo $i$, podemos definir $${\alpha\choose i}:=\frac{\alpha\cdot(\alpha-1)\cdot \ldots\cdot (\alpha-i+1)}{i!} \,.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que $${n+i-1 \choose i }=\dfrac{(n+i-1)!}{i!(n-1)!}=\dfrac{(n+i-1)(n+i-2)\dots(n)}{i!} $$ y $$ \frac{(n+i-1)\cdots(n)}{i!} = (-1)^i \frac{(-n)(-n-1)(-n-2)\cdots(-n-i+1)}{i!} = (-1)^i{-n \choose i}$$