Definiciones
Deje $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) := \left \{M := \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}: \det{M} = 1 \right \}$ con la multiplicación de la matriz ser un grupo de $2 \times 2$ matrices.
Vamos
\begin{align} A_\lambda :&= \begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \text{ con }\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\\ B_t :&= \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \text{ con } t \in \mathbb{R}\\ C :&= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \end{align}
elementos de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$.
Pregunta
Do $A_\lambda, B_t$ $C$ generar $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$?
Mi pruebe
Yo pienso que sí. Cuando yo podría mostrar que
$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$$
se pueden multiplicar con una combinación de las tres matrices $A, B, C$ de tal manera que el resultado es el elemento neutro de este grupo $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ entonces yo podría generar la matriz mediante la multiplicación de las matrices inversas. A la inversa de las matrices se pueden generar debido a que:
\begin{align} A_\lambda^{-1} &= A_{\frac{1}{\lambda}}\\ B_t^{-1} &= B_{-t}\\ C^{-1} &= C^3 \end{align}
Ahora lo único que queda es llegar de $$M = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$$ a $$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$
Ok. Así que vamos a intentarlo.
Caso 1: $a = 0$
Como $\det(M)=1 = ad - bc = 0d-bc$ sabemos que $bc=-1$. Especialmente es $c \neq 0$.
$$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d\\ -a & -b\end{pmatrix}$$
Continuar con el Caso 2.
Caso 2: $a \neq 0$
Normalizar ($M \cdot A_{\frac{1}{a}}$):
$$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0\\ 0 & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & ab\\ \frac{c}{a} & ad\end{pmatrix}$$
Continuar con el Caso 3.
Caso 3: $a=1$
Obtener un$0$$M \cdot B_{-b}$:
$$\begin{pmatrix} 1 & b\\ c & d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -b\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ c & d-bc\end{pmatrix}$$
Sabemos que $\det{M} = 1 = ad - bc = d - bc$.
Continuar con el Caso 4.
Caso 4: $a=1$, $b=0, d=1$
En esta etapa tenemos las matrices que se parecen a
$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ c & 1\end{pmatrix}$$
Esto es donde estoy atascado. Me pueden ayudar?
