¿Cuál es la conmutativa analógica de una $C^*$-subalgebra?

Question

El uso de la dualidad entre localmente compacto Hausdorff espacios y conmutativa $C^*$-álgebras uno puede escribir una lista de vocabulario traducir topológico nociones sobre localmente compacto Hausdorff espacio de $X$ en nociones algebraicas ragarding su anillo de funciones $C_0(X)$ (ver Wegge-Olsen del libro, por ejemplo). Por ejemplo, tenemos las siguientes correspondencias: $$\begin{align*} \text{open subset of %#%#%}\quad &\longleftrightarrow\quad\text{ideal in %#%#%}\newline \text{dense open subset of %#%#%}\quad &\longleftrightarrow\quad\text{essential ideal in %#%#%}\newline \text{closed subset of %#%#%}\quad &\longleftrightarrow\quad\text{quotient of %#%#%}\newline \text{locally closed subset of %#%#%}\quad &\longleftrightarrow\quad\text{subquotient of %#%#%}\newline \text{???}\quad &\longleftrightarrow\quad\text{%#%#%-subalgebra in %#%#%} \end{align*}$$ Por el ideal que yo siempre significa una de dos caras cerrado (y por lo tanto la auto-adjunto) ideal.

Bueno, yo no puedo ver cómo reconvertir un $X$-subalgebra en $C_0(X)$ en algo topológico que implican sólo el espacio $X$. Usted puede venir para arriba con algo práctico?

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Ejemplo: Un ejemplo simple de una subalgebra de un conmutativa $C_0(X)$-álgebra no ser un ideal es $$\mathbb C\cdot(1,1)\subconjunto \mathbb C\oplus\mathbb C.$$

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(Alternativamente, se podría pensar acerca de esta cuestión en el marco de la dualidad de los afín variedades algebraicas y finitely generado conmutativa reducción de álgebras o incluso dentro de la dualidad entre afín esquemas y conmutativa de los anillos.)

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Edit: Ya que yo no estaba completamente satisfecho por la respuesta que llegué aquí, he vuelto a publicar esta pregunta en MO.

Answer 1

Aproximadamente, la respuesta será que cerró C*-subalgebras le corresponden al cociente de los espacios (a través de pull-back de funciones). En tu ejemplo, el cociente mapa es aquel que identifica los dos puntos en un solo punto. No he pensado, aunque, si esto es totalmente correcta de la instrucción, tal y como está, o si uno tiene que agregar advertencias.

[Agregado en respuesta a una pregunta en los comentarios:] La idea es que si $X$ surjects en $Y$ a continuación, obtener una inyección de $C_0(Y) \to C_0(X)$, y a la inversa.

[Discusión adicional añadido después de más de pensamiento:] déjame decir algo acerca de la situación análoga en la geometría algebraica, donde me siento más cómodo con los problemas técnicos:

Afín algebraica de los conjuntos de más de $\mathbb C$ corresponden a lo finito tipo reducido $\mathbb C$-álgebras. Dando una inclusión $A \hookrightarrow B$ finitos tipo reducido $\mathbb C$-álgebras corresponde a un mapa de $X \to Y$ algebraico establece que es dominante, es decir, la imagen es muy densa.

Ahora en su set-up: si $X \to Y$ es un mapa de localmente compacto Hausdorff espacios con densa de la imagen, de nuevo el mapa de $C_0(X) \to C_0(Y)$ será inyectiva; por lo que podría haber sido demasiado precipitada cuando les dije que tenemos un surjective mapa. Por otro lado, tal vez la imagen de $C_0(X) \to C_0(Y)$ no va a ser cerrado en este nivel de generalidad; es un tiempo desde que he pensado cuidadosamente acerca de este tipo de cosas, así que creo que no se puede decir más ahora, con algún grado de certeza.

En particular, no estoy tan acostumbrado a trabajar en el caso de los anillos sin unidad, así que mi sugerencia tiene más probabilidad de ser la correcta en el caso de que los espacios son compactos. Así que quizás sería más fácil pensar sobre el caso al$X$$Y$, compacto y de los primeros; a continuación, un mapa con densa de la imagen será automáticamente surjective, y para este caso, podría ser más fácil de entender por esta razón también. (De hecho, pensando en tu ejemplo de un ideal que usted menciona en los comentarios, podría ser más fácil para pasar a un punto de compactifications --- y por lo tanto añadir una unidad --- antes de continuar. Porque, de hecho, creo que que en el caso ideal, lo que va a pasar es que vamos a conseguir un mapa de la 1 punto compactification del espacio para el punto uno compactification del conjunto abierto que aplasta el complemento del conjunto abierto hacia abajo hasta el punto en el infinito, exactamente como sugieres en tu comentario.)