PRECAUCIÓN - RESPUESTA INCOMPLETA Hay un hueco en mi argumento (véase el envío); se basa en la afirmación de que
\begin{align}
- \hat O^\dagger \hat A = \hat A\hat O
\end{align}
para todos los hermitian $\hat A$ implica $\hat O = 0$, lo que puede no ser cierto. Por favor comente si usted sabe cómo probar esto o sabe de un contraejemplo.
La actualización. En realidad, la afirmación de arriba es definitivamente falso en una dimensión, por lo que la resultante argumento es, sin duda incompleta.
Algunos métodos de representación de aclaraciones.
Permítanme en primer lugar que (3) como usted lo escribió, aunque muy estándar, es realmente un lugar severo abuso de notación.
La diferencia entre el "total" y "parcial" de los derivados en la ecuación es que la derivada parcial mandato se supone para hacer referencia a la dependencia del tiempo llevado por la imagen de Schrödinger mismo operador, mientras que el total de derivados se refiere a que además de los adicionales de dependencia de tiempo introducido por conjugar el operador $\hat U(t)$.
Para ver esto, observe que si como es habitual, se definen
\begin{align}
\hat A_H(t) = \hat U^\dagger(t) \hat A_S(t) \hat U(t) \tag{%#%#%}
\end{align}
a continuación, la diferenciación con respecto al tiempo en ambos lados y la invocación de (1) los rendimientos
\begin{align}
\frac{d\hat A_H}{dt}(t) = U^\dagger(t)\frac{d \hat A_S}{dt}(t)\hat U(t) + \frac{1}{i\hbar} [\hat U^\dagger(t)\hat A_S(t) \hat U(t), \hat H] \tag{%#%#%}
\end{align}
así que si nos sentimos como buenos físicos que gusta usar la derivada parcial de los símbolos en el lugar de manera extraña y definir
\begin{align}
\frac{\partial \hat A_H}{\partial t}(t) = U^\dagger(t)\frac{d \hat A_S}{dt}(t)\hat U(t)
\end{align}
entonces tenemos precisamente la ecuación (3).
La prueba de que (3) $\star$ (1).
Todos los derechos, así que ahora que sabemos lo que la ecuación está diciendo en realidad. Vamos a intentar usarlo para probar (1) como usted desea. Empezamos con $\star\star$ $\implies$ e intentar demostrar (1). De hecho, el taponamiento de la $(\star)$ a $(\star\star)$ y la cancelación del término común de los rendimientos
\begin{align}
\frac{d \hat U^\dagger}{dt}(t) \hat A_S(t)\hat U(t) + \hat U^\dagger(t) \hat A_S(t) \frac{d\hat U}{dt}(t) = \frac{1}{i\hbar} [\hat U^\dagger(t)\hat A_S(t) \hat U(t), \hat H]
\end{align}
Ampliar el colector, y multiplicando ambos lados por $(\star)$ a la izquierda, y $(\star\star)$ a la derecha, nos encontramos con que
\begin{align}
\hat U(t) \frac{d\hat U^\dagger(t)}{dt} \hat A_S(t) + \hat A_S(t) \frac{d \hat U}{dt}(t) \hat U^\dagger(t) = -\frac{1}{i\hbar}\hat U(t)\hat H \hat U^\dagger (t) \hat A_S(t) + \frac{1}{i\hbar}\hat A_S(t) \hat U(t) \hat H \hat U^\dagger (t).
\end{align}
el cual, después de una cierta reordenación da
\begin{align}
\left(\hat U(t) \frac{d\hat U^\dagger(t)}{dt} + \frac{1}{i\hbar}\hat U(t)\hat H \hat U^\dagger (t)\right)\hat A_S(t)
=\hat A_S(t)\left(\frac{1}{i\hbar}\hat U(t) \hat H \hat U^\dagger (t)-\frac{d \hat U}{dt}(t) \hat U^\dagger(t)\right)
\end{align}
Ahora deje que el término entre paréntesis de la derecha se llama $\hat U(t)$, a continuación, utilizando el hecho de que $\hat U^\dagger(t)$ es hermitian, esta ecuación puede ser escrita como
\begin{align}
-\hat O^\dagger(t) \hat A_S(t) = \hat A_S(t) \hat O(t)
\end{align}
Esto es válido para todas hermitian $\hat O(t)$, lo $\hat A_S(t)$, es decir, que la
\begin{align}
\frac{1}{i\hbar}\hat U(t) \hat H \hat U^\dagger (t)-\frac{d \hat U}{dt}(t) \hat U^\dagger(t) =0
\end{align}
y (1) de la siguiente manera al multiplicar ambos lados de la izquierda por $\hat A_S(t)$.
