Hay un forzando la extensión de $M[G]$ $M$ que añade un nuevo $\omega$tamaño de un subconjunto de a $\omega_2$ sin añadir ninguna nueva subconjuntos de a $\omega$?

Question

Debo añadir que el forzamiento de la extensión debe preservar los cardenales $\aleph_1$$\aleph_2$.

Tenga en cuenta que tal forzando la extensión puede añadir ninguna nueva $\omega$-tamaño de los subconjuntos de a $\omega_1$, y también puede ser $\omega$-distributiva.

Si es necesario, puede suponer $M \models GCH$.

Supongo que la pregunta que surge a partir de mi preguntando acerca de si un forzando la extensión no agrega nuevos subconjuntos de a $\omega$, debe también no agrega nuevos $\omega$-tamaño de los subconjuntos de cualquier otra cosa?

Gracias.

Answer 1

Si usted insistir en que tanto $\omega_1$ $\omega_2$ se conservan, a continuación, esto es imposible. La razón es que, desde el $\omega_2$ se conserva y, en particular, sigue siendo regular en $M[G]$, cualquier contables subconjunto $X$ en la extensión debe estar acotada. Pero dada una enlazado $\alpha<\omega_2$, se puede arreglar en $M$ un bijection $f\colon \omega_1\to\alpha$. A continuación, $X\subseteq\omega_2$ es nuevo iff $f^{-1}[X]\subseteq\omega_1$ es nueva, pero a medida que el estado (o una versión de Noé del argumento), no puede haber nuevos subconjuntos de a $\omega_1$.

Si permites $\omega_2$ a ser derrumbado, a continuación, Asaf del Namba, obligando a sugerencia de obras (al menos en la CH). Permitiendo $\omega_1$ a ser derrumbado en realidad no tiene sentido, ya que el colapso que se acaba de agregar un real.

Comienzan a suceder cosas interesantes cuando se trate de sustituir a $\omega_2$ con más cardenales $\kappa$. Si desea cardenales que se conserva, el argumento de arriba te dice que $\kappa$ no puede permanecer normal (o incluso de innumerables cofinality) en la extensión (en particular, esto no funciona para cualquier sucesor $\kappa$). Jensen cubriendo voodoo dice que usted realmente debe tener algo como un medibles corriendo. Pero si tenemos un medibles $\kappa$ luego Prikry obligando a $\kappa$ es exactamente el tipo de cosa que usted está buscando: conserva los cardenales, no agregar delimitada subconjuntos de a $\kappa$, pero sí que añade un (unbounded) contables subconjunto de a $\kappa$.

Answer 2

Es posible que desee buscar en Namba, obligando.

Esta obligando a los cambios de la cofinality de $\omega_2$ a ser contables, y asumiendo $\sf CH$ lo hace sin la adición de nuevos reales. En particular, $\omega_1$ se conserva.