Cómo determinar el Lagrangiano de la "verdadera" explícita la dependencia en el tiempo?

Question

Si el Lagrangiano satisface

$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} = 0 $$

entonces estás feliz, la energía se conserva, etc. Sin embargo, si el de arriba no espera, eso no necesariamente significa que la energía no se conserva; tal vez su Lagrangiano tiene un falso explícita la dependencia del tiempo. Por ejemplo:

$$ \mathcal L = \frac{m}{2}\dot x^2+kt\dot x $$

El de arriba de Lagrange ha $\partial \mathcal L/\partial t = k\dot x $ pero yo llame a esa dependencia falso (o lo que los expertos como para decir, "falso") porque tiene las mismas ecuaciones de movimiento como este otro de Lagrange:

$$ \mathcal L = \frac{m}{2}\dot x^2-kx $$

que no tiene explícita la dependencia del tiempo que sea, para que la energía se conserva. Específicamente, esto sucedió debido a que puede cambiar derivados en su Lagrange usando integración por partes en el nivel de la acción.

Del mismo modo, el siguiente Lagrangiano

$$ \mathcal L = \frac{m}{2}\dot x^2+gt $$

también tiene un falso explícita la dependencia del tiempo, ya que se puede quitar $gt$ que es sólo un tiempo total de derivados, lo que equivale a un límite de plazo en la acción.

Por otro lado, el Lagrangiano con la variable de masa

$$ \mathcal L = \frac{m(t)}{2}\dot x^2 $$

es fidedigno explícita dependiente del tiempo. No hay ningún truco para evitarlo; $\partial \mathcal L/\partial t \ne 0$ no importa lo que las modificaciones que realice.

Finalmente, en la siguiente Lagrangiano tiene una mezcla de lo real y lo falso de tiempo explícito-dependencias:

$$ \mathcal L = \frac{m(t)}{2}\dot x^2 -kx +gt $$

Su verdadero explícita la dependencia del tiempo que podría ser definido como $\partial \mathcal L/\partial t$ después de toda la integración por partes que podrían ser realizados se han hecho y todas total de productos derivados se han eliminado. Por lo tanto, la pregunta es:

Dado un genérico de Lagrange, puede que su verdadera explícita la dependencia del tiempo determinado en general?

Answer 1

La tercera de Lagrange difiere de la estándar libre de Lagrange sólo por un total de derivados, de modo que se produce la misma ecuación de movimiento. Esto nos lleva a la respuesta.

Usted puede ignorar explícita temporal de las dependencias de si se deben a un sumando $\Delta L$ $L$que es una formal total derivado de: $$\Delta L = \frac{\partial g}{\partial t} +\sum_{k=1}^n \frac{\partial g}{\partial q^k} \dot{q}^k$$ donde $g= g(t,q)$.

Por lo tanto, si $\frac{\partial L}{\partial t} \neq 0$, pero $\frac{\partial L - \Delta L}{\partial t} = 0$ $\Delta L$ como el anterior, se puede omitir esta dependencia en el tiempo. Más fuertemente que usted puede volver a definir $L' = L -\Delta L$ que produce las mismas ecuaciones de movimiento y $\frac{\partial L'}{\partial t} = 0$.

Este es el caso también en relación con la primera pareja de Lagrangians como su diferencia es de un total de derivados: $$\frac{d }{dt}ktx\:.$$ Por otra parte, y esto es equivalente, se puede prescindir de la dependencia del tiempo en el tiempo si la derivada parcial de la Lagrangiana es un total de derivados. Esto se deduce del argumento anterior, si darse cuenta que el total de operador de la derivada y la derivada parcial operador de viajar en funciones de $q $$t $.

Answer 2

1. OP parece a reflexionar sobre cómo comprobar de forma fiable si un término $\Delta L$ en el Lagrangiano $$ \tilde{L}(q,\dot{q},t)~=~ L(q,\dot{q},t)+ \Delta L(q,\dot{q},t) \tag{1}$$ es (tal vez en secreto?) un total de derivados del plazo o no? (Es decir, en situaciones complicadas con muchos grados de libertad.) Así, un tonto-prueba (que no depende de la inteligente rewritings) es la siguiente: El término $\Delta L$ total derivado de la si$^{~1}$, y solamente si, el de Euler-Lagrange (EL) operador aniquila $\Delta L$ idéntica$^2$ $$ \frac{\partial \Delta L}{\partial q^j} -\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \Delta L}{\partial \dot{q}^j}~=~0. \tag{2}$$ Esta estrategia se ha utilizado en mi Phys.SE la respuesta aquí. Ver también esta relacionada con Phys.SE post.

2. Es cierto que el de Euler-Lagrange (EL) ecuaciones no cambian cuando cambiamos el Lagrangiano con un tiempo total de derivados $$ \tilde{L}~=~ L+ \frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}, \tag{3}$$ cf. por ejemplo, este y este Phys.SE postes. Sin embargo, insistimos en que las pertinentes condiciones de contorno (BCs) de la variacional del problema podrían ser afectadas por el cambio (3), cf. por ejemplo, este y este Phys.SE postes.

Referencias:

1. G. Barnich, F. Brandt y M. Henneaux, Local BRST cohomology en teorías gauge, Phys. República 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245.

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$^1$ "Si"-parte asume que el espacio de configuración es contráctiles, cf. una expresión algebraica de Poincaré lema de la denominada bi-variacional complejo, véase, por ejemplo, Ref. 1. Para no contráctiles de la configuración de los espacios que hay, en principio, podría ser topológico de obstrucciones.

$^2$ Esta declaración puede ser generalizada o modificados para acomodar local campo de las teorías derivadas de orden superior.