Esta es una forma válida de demostrar esta modificación de la serie armónica diverge?

Question

Estoy tratando de encontrar una forma de demostrar que $$\dfrac 11 + \dfrac 12 + \dfrac 13 + \dfrac 14 + \cdots \color{red}{-} \dfrac 18 + \cdots$$

donde el patrón se repite cada $8$ términos. A saber, la de Riemann Teorema de las Series, estoy un poco indeciso acerca de la manipulación de condicionalmente convergente la serie. Dado que la serie armónica diverge, es la siguiente una forma válida de demostrar mi serie diverge?

$$\dfrac 11 + \dfrac 12 + \dfrac 13 + \cdots + \dfrac 17 - \dfrac 18 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1n - 2 \cdot \dfrac 18\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1n $$

$$=\dfrac 34 \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac 1n$$

Desde que la serie armónica diverge, entonces no $\dfrac 34$ veces.

Answer 1

Tu idea es buena, pero, como se sospecha, se debe ser cuidadoso acerca de este tipo de manipulación de condicionalmente convergente la serie.

Una manera de llevar a cabo su argumento correctamente, pero con sólo cambios menores, es mirar las sumas parciales:

Vamos a escribir $$a_n=\begin{cases}1,&\text{ if }n\text{ is not a multiple of 8} \\-1,&\text{ if }n\text{ is a multiple of 8},\end{casos},$$ so that your series is $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n}.$

Entonces para cualquier número natural $N,$

\begin{align} \sum_{n=1}^{8N}\frac{a_n}{n} &= \sum_{n=1}^{8N}\frac1{n}-2\sum_{n=1}^N \frac1{8n} \\&=\sum_{n=1}^{8N}\frac1{n}-\frac1{4}\sum_{n=1}^N \frac1{n} \\&\ge\sum_{n=1}^{8N}\frac1{n}-\frac1{4}\sum_{n=1}^{8N} \frac1{n}\scriptsize{\quad\text{(because we can only be subtracting *more* positive numbers)}} \\&=\frac3{4}\sum_{n=1}^{8N}\frac1{n}, \end{align}

qué enfoques $\infty$ $N$ enfoques $\infty,$ desde que la serie armónica diverge.

Answer 2

Para ampliar Mitchell Spector de la respuesta, vamos a generalizar el problema donde cada $b$th plazo es negada.

Por el mismo argumento, obtenemos $$\begin{align} \sum_{n=1}^{bN}\frac{a_n}{n} &= \sum_{n=1}^{bN}\frac1{n}-2\sum_{n=1}^N \frac1{bn} \\&=\sum_{n=1}^{bN}\frac1{n}-\frac2{b}\sum_{n=1}^N \frac1{n} \\&\ge\sum_{n=1}^{bN}\frac1{n}-\frac2{b}\sum_{n=1}^{bN} \frac1{n} \\&=\left(1-\frac2{b}\right)\sum_{n=1}^{bN}\frac1{n} \end{align}$$

Esto es bueno, ya que podemos ver que la divergencia de la prueba tiene por $b \geq 3$, pero no para $b=2$. Esto no es extraño, puesto que la serie de $b=2$ se sabe que convergen a $\log 2$.

Answer 3

Esta prueba no es válida porque de la de Riemann teorema de las series; la serie original todavía podría converger aunque algunos cambios se bifurca. Es importante centrarse en las sumas parciales.

Se puede argumentar a lo largo de las líneas que la serie $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{8k+1} = 1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{17} + \cdots$$ already diverges by comparing its partial sums to the partial sums of the harmonic series $\frac{1}{8} \Big( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \Big).$

Answer 4

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} &{\tiny\sum_{k=0}^\infty}{\tiny\left(\frac1{8k+1}+\frac1{8k+2}+\frac1{8k+3}+\frac1{8k+4}+\frac1{8k+5}+\frac1{8k+6}+\frac1{8k+7}-\frac1{8k+8}\right)}\\ &={\tiny\sum_{k=0}^\infty}{\tiny\left(\frac1{8k+1}+\frac1{8k+2}+\frac1{8k+3}+\frac1{8k+4}+\frac1{8k+5}+\frac1{8k+6}\right)+{\tiny\sum_{k=0}^\infty}\left(\frac1{8k+7}-\frac1{8k+8}\right)}\\ \end{align} $$ Para la mano izquierda suma, tenemos $$ \begin{align} &{\small\sum_{k=0}^\infty\left(\frac1{8k+1}+\frac1{8k+2}+\frac1{8k+3}+\frac1{8k+4}+\frac1{8k+5}+\frac1{8k+6}\right)}\\ &\ge{\small\frac68\sum_{k=0}^\infty\frac1{k+1}} \end{align} $$ que diverge.

Para la mano derecha suma, tenemos $$ \begin{align} &{\small\sum_{k=0}^\infty\left(\frac1{8k+7}-\frac1{8k+8}\right)}\\ &\le{\small\frac1{56}+\frac18\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{8k}-\frac1{8k+8}\right)}\\ &=\frac{15}{448} \end{align} $$ Una divergente suma más convergente suma diverge.