¿Por qué no se impulso una función de la posición en la mecánica cuántica?

Question

En la mecánica cuántica, la central unitaria de traducción en tiempo operador $\hat{U}(t_1,t_2)$ está definido por $\hat{U}(t_1,t_2)|ψ(t_1)\rangle = |ψ(t_2)\rangle$, y el operador Hamiltoniano $\hat{H}(t)$ se define como el límite de $i\hbar\frac{\hat{U}(t,t+\Delta t)-1}{\Delta t}$ $\Delta t$ va a 0. De la misma forma, dimensiones espaciales traducción operador está definido por $\hat{T}(x_1,x_2)|x_1\rangle = |x_2\rangle$ y el impulso operador $\hat{p}$ se define como el límite de $i\hbar\frac{\hat{T}(x,x+\Delta x)-1}{\Delta x}$ $\Delta x$ va a 0. Mi pregunta es, ¿por qué es que el operador Hamiltoniano puede ser una función del parámetro de tiempo de $t$, pero el impulso operador no puede ser una función de la posición del parámetro $x$?

La única buena respuesta, he llegado a esta pregunta es que el tiempo no es un operador en mecánica cuántica no relativista, mientras que la posición es un operador, por lo que el impulso de ser una función de la posición que echaría a perder la posición de impulso de conmutación relación. Pero esta explicación no tiene sentido para mí, porque considerar el caso de que el momento angular de espín. Si $\hat{R}_z(\theta_1,\theta_2)$ denota el operador de rotación intrínseca rotaciones sobre el eje z (en oposición a orbital rotaciones), entonces el momento angular de espín operador $\hat{J}_z$ (frente a Beyonce) se define como el límite de $i\hbar\frac{\hat{R}_z(\theta,\theta+\Delta\theta)-1}{\Delta\theta}$ $\Delta\theta$ va a 0. Y, sin embargo, $\hat{J}_z$ no es una función del ángulo de $\theta$, aunque no hay ningún operador en la mecánica cuántica, correspondiente a $\theta$. (Hay otro operador $\hat{\theta}$, que es uno de la posición de los operadores en coordenadas esféricas, pero que no tiene nada que ver con el giro y el $\theta$ de los que estoy hablando.) Por lo que "el parámetro correspondiente al operador" no parece ser la explicación correcta, ya que no explica por qué el momento angular de espín no puede ser una función del ángulo.

Tenga en cuenta que yo no estoy buscando un ad hoc explicación como "eso no tendría sentido físico en términos de cómo la energía y el impulso obra clásica". Quiero una primera principios de la explicación de la mecánica cuántica.

Answer 1

Su idea de lo que está definido en términos de lo que es un poco engañoso. Generalmente, el físico se lleva a la infinitesimal generadores $H,p,x$ como se da la auto-adjunto operadores y define el finito de transformaciones a ser $U(t) = \exp(-\mathrm{i}tH),T(\xi) = \exp(\mathrm{i}\xi p),S(\pi) = \exp(\mathrm{i}\pi x)$ después de la Piedra del teorema. Si $H$ es dependiente del tiempo, a continuación, $U(t)$ se convierte en la Dyson serie de $U(t,t_0)$ en la interacción de la imagen.

En cuanto a la definición de un impulso propio operador: Es simplemente para ser el operador con $[x,p] = \mathrm{i}\hbar$. Por la Piedra-teorema de von Neumann, de todas las maneras posibles para darse cuenta de los operadores con los que la conmutación relación son esencialmente la misma que la de $L^2(\mathbb{R})$ donde $x$ es multplication por la variable y $p$ es la diferenciación. Las relaciones de conmutación codifican también que la transformación de $T(\xi)$ actúa como una traducción en la posición y que $S(\pi)$ actúa como una traducción en el impulso, ver también esta respuesta de la mina. Pero, fundamentalmente, $p$ es por definición un solo operador fijo. Es simplemente no se le permite depender de nada.

Finalmente, su confusión parece básicamente surgir a partir de la escritura de todas esas transformaciones con dos parámetros, es decir,$U(t_0,t_1),T(x_1,x_2)$. Sólo el tiempo de evolución es permitido depende de dos parámetros de esa manera, y sólo en el caso de un dependiente del tiempo de Hamilton. Todas las demás transformaciones son uno de los grupos de parámetros como en la Piedra del teorema, generado por un solo auto-adjunto del operador. Esto no está demostrado, pero supone. Podemos asumir que la rotación del operador $R(\theta_1,\theta_2)$ realmente sólo se preocupa por la diferencia entre los dos ángulos, que es realmente sólo una función de $R(\theta_1 - \theta_2)$ y podemos asumir que la traducción de $T(x_1,x_2)$ es en realidad $T(x_1-x_2)$. Se podría asumir de manera diferente, pero eso no es lo que hacemos en el estándar de la mecánica cuántica.

Suponemos que para todos aquellos transformación porque queremos que la $T(x_1,x_2)$ a ser en realidad un (unitario) representación de la traducción de grupo $\mathbb{R}$, y el $R(\theta_1,\theta_2)$ a ser una representación de la rotación de grupo $\mathrm{SO}(3)$. Y esos grupos no contienen las transformaciones "rotar desde el ángulo de $\theta_1$$\theta_2$", pero "rotar el ángulo de $\theta$", por lo que el operador también depende sólo de la diferencia, y no la de inicio/extremos de la transformación.

El caso de la evolución en el tiempo es diferente - aunque uno podría decir que hay un "tiempo de traducción de grupo", lo que en realidad queremos es un operador que codifica la evolución de un sistema dinámico. Y en un sistema dinámico, podemos imaginar que en algún momento en el tiempo $t_0$ algo es "encendido/apagado" que altera la dinámica del sistema después de ese punto, por lo que el $U(t_1,t_2)$ es diferente dependiendo de si $t_1,t_2$ son antes o después de la $t_0$.

Answer 2

Creo que la idea de que sea la posición o el impulso del operador es una función de la otra es un poco mal definidos. Me doy cuenta de que no quiere explicaciones de la física clásica, así que por favor, disculpe, por el momento, la analogía con Hamiltoniana de la mecánica.

En Hamiltoniana de la mecánica de los tratamos con un $2n$-dimensiones del espacio, en el que debe haber una 2-forma, es decir, un anti-simétrica 2-tensor $\omega_{ij}$, que debe ser no-degenerada, $\omega_{ij} v^j \neq 0$ si $v^j = 0$, y cerró, $\partial_{[i} \omega_{jk]} =0$ donde los corchetes significan anti-simetrización. Estas condiciones son todos de coordenadas independientes. Desde $\omega_{ij}$ es no degenerada, tiene un inverso $\omega^{ij}$. Si $f,g$ son funciones de esta $2n$-dimensiones del espacio, podemos definir una operación que se llama el corchete de Poisson de $f$ $g$ $$\{f, g\} = \omega_{ij} (\omega^{ik} \partial_k f)(\omega^{jl} \partial_l g).$$ Tenga en cuenta que el corchete de Poisson se define en una coordenada independiente de la forma. La otra cosa que tenemos que hacer Hamiltoniana de la mecánica es una función Hamiltoniana $H$, que define la dinámica a través de $$\dot f = \{f, H \}.$$

Los componentes de la 2-forma $\omega_{ij}$ son de curso de coordenadas dependientes. Ahora, por el teorema de Darboux, siempre es posible (a nivel local) encontrar lo que se llama canónica de coordenadas $x^i, i = 1, \ldots, 2n$ tal que $\omega_{ij}$ toma la forma siguiente $$\omega_{\mathfrak{ij}} = \begin{bmatrix}0 & I_n \\-I_n & 0\end{bmatrix}$$ donde $I_n$ $n\times n$ matriz identidad. Deje $q^i = x^i, i = 1, \ldots, n; p^i = x^{i+n}, i = 1, \ldots, n.$, Entonces usted puede trabajar que a $$\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p^i} - \frac{\partial f}{\partial p^i} \frac{\partial g}{\partial q^i}.$$ En particular, $$\{q_\mathfrak{i}, p_\mathfrak{j}\} = \delta_{\mathfrak ij} \quad \{q_\mathfrak{i}, q_\mathfrak{j}\} = \{p_\mathfrak{i}, p_\mathfrak{j}\} = 0 $$ y yo puede recuperar fácilmente las ecuaciones de Hamilton en la forma canónica.

En un determinado sistema de coordenadas como el descrito, un canónica sistema de coordenadas, el $q^i$ son llamados las posiciones o coordenadas, y el $p^i$ son llamados los ímpetus. Ni es una función de la otra. Pero eso es cierto para cualquier sistema de coordenadas: todas las coordenadas son mutuamente independientes. Uno puede también utilizar $v^i = p^i - eA^i(q^j)$ como la segunda mitad de las coordenadas. Los componentes de la 2-forma será más complicado y la fórmula para la distribución de Poisson soporte no será tan agradable, pero $(x^i, v^i)$ es perfectamente sistema de coordenadas.

Ahora vamos a lo largo de la mecánica cuántica. En la mecánica cuántica hemos operadores en lugar de utilizar los conmutadores en lugar de corchetes de Poisson. La dinámica está dada por $$\hat{ \dot O} = \frac{i}{\hbar} [\hat O, \hat H]$$ y por analogía con Hamiltoniana de la mecánica se introduce como el observables operadores de $\hat x_i, \hat p_i$ que satisfacer $$[\hat x_i, \hat p_j] = i\hbar \delta_{ij} \quad [\hat x_i, \hat x_j] = [\hat p_i, \hat p_j] = 0.$$ Decimos que estos operadores forman la base de una Mentira álgebra. Pero como yo soy libre de cambio de coordenadas en el caso clásico, yo soy libre para cambiar de base en el quantum caso. No tiene sentido decir que la posición del operador es una función del impulso del operador o viceversa, porque son todos mutuamente independientes base de los elementos en el álgebra de la Mentira.

El quantum caso también puede directamente ser formulada en términos de un cambio de coordenadas. Entonces, en lugar de la distribución de Poisson soporte en $2n$-dimensional del espacio de fase, uno tiene la Moyal soporte. Como el corchete de Poisson, la Moyal soporte actúa como un operador diferencial, y la expresión es particularmente simple en especial los sistemas de coordenadas, pero no es necesario el uso de tales coordenadas.

Answer 3

En realidad, hay escenarios donde el impulso operador podría depender de la posición. Considere, por ejemplo, la propagación de la luz a través de un medio aleatorio. Si se incorpora el efecto de este medio aleatorio en la central unitaria de la evolución del campo a través de la media, entonces el impulso operador que derivan de la que dependería de la posición debido a la aleatoriedad de la media.

Cuando el impulso operador no depende de la posición, que refleja el hecho de que el sistema bajo investigación espacial obedece a la traducción de la invariancia, y por lo tanto apoya la conservación de momentum. En un medio aleatorio, el impulso no se conserva, ya que el medio podría causar la dispersión de la luz, lo que implica un cambio en el momentum.

Sin embargo, lo mismo se aplica para el Hamiltoniano. Si el Hamiltoniano tiene una explícita de dependencia de tiempo, entonces el sistema no es invariante con respecto a las traducciones en tiempo y, a continuación, la conservación de la energía se rompe.

En el nivel fundamental sabemos que tanto el impulso y la energía se conservan. Esto se refleja en el hecho de que ni el Hamiltoniano, ni el impulso del operador depende explícitamente de tiempo o la posición. Por ejemplo, en las teorías cuánticas del campo (tales como QED) la dependencia en el espacio-tiempo de coordenadas está restringido a la de los campos y no aparece explícitamente en el Lagrangiano. El implícita la traducción de la invariancia en el espacio-tiempo de coordenadas conduce a una Noether actual, la energía-impulso del tensor, de la cual se obtiene las expresiones para el Hamiltoniano y el impulso de los operadores, puramente expresa en términos de los campos y sus derivados.

Answer 4

Pensar primero en el Hamiltoniano.El Hamiltoniano es un generador de tiempo de las traducciones, que es por lo que puede ser una función de $t$. Puede ser de tiempo dependiente o independiente del tiempo.Este codifica cómo evolucione el sistema como una función del tiempo. Ahora matemáticamente hablando el impulso es el generador de espacio traducciones por lo que en principio puede ser una función de la posición del parámetro. Por lo que podría ser la posición dependiente o independiente de la posición. Esto nos diría cómo el sistema evoluciona en el espacio. La mayoría de los experimentadores no hacer experimentos en movimiento cuántico de sistemas en el espacio pero sí, hacer experimentos de movimiento de los sistemas en el tiempo. Es concebible que en el futuro cuando las técnicas de quantum de control son muy avanzadas y los sistemas cuánticos pueden ser protegidos de la decoherencia que un día, un experimentales necesitaría saber un impulso operador como una función de un parámetro de posición. Asimismo, recuerda que esto no es física relativista, la posición y el tiempo no están en el mismo pie de igualdad. No hay ninguna razón para pensar que deben comportarse de la misma manera. Para responder a su pregunta directamente el impulso del operador, en principio, puede ser una función de la posición del parámetro.

Answer 5

¿por qué es que el operador Hamiltoniano puede ser una función del tiempo parámetro t, pero el impulso operador no puede ser una función de la parámetro de posición x?

Un impulso operador puede ser una función de la $x$. Voy a citar extensamente de las páginas 57-58 de Aitchison Y Hey "Medidor de Teorías en la Física de Partículas, 2ª Ed." así que esto es demasiado largo para un comentario:

El punto esencial es que (en una dimensión, digamos) $\hat p$ está definido en última instancia por el colector $(\hbar = 1)$

$$[\hat x, \hat p] = i$$

Sin duda, el familiar, la elección

$$\hat p = -i \frac{\partial}{\partial x}$$

satisface la conmutación relación. Pero también podemos añadir cualquier función de $x$$\hat p$, y esta modificación de la $\hat p$ todavía será satisfactoria desde $x$ conmuta con cualquier función de $x$. Más consideraciones detalladas por Dirac demostró que esta función arbitraria en realidad debe de tener la forma $\frac{\partial F}{\partial x}$ donde $F$ es arbitrario. Así

$$\hat p ' = -i \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial x}$$

es aceptable el impulso del operador.