La resolución de una escuela secundaria conjetura

Question

A la derecha, así que esto fue algo que me tropecé mientras que en las formas de la proporción áurea (si se reemplaza x con uno en el diagrama de arriba, a continuación, obtener phi) y, a continuación, me preguntaba acerca de lo que si te equivocaste con el valor de x, hizo una gran cantidad de ensayo y error (perdido en un bloc de notas en algún lugar), a continuación, se acercó con la ecuación de la derecha, que trabajó exactamente para cada valor que he probado (hasta 100)

Ahora que he encontrado de intercambio de la pila, en preguntarse si hay una manera de probar esto, he conectado en algunos valores en wolfram alpha y geogebra, lo que parece demostrar que funciona, pero quiero una prueba, no sólo de prueba y error de las respuestas.

Answer 1

Esto es lo que se llama una continuación de la fracción. Vamos a denotar su continuo fracción como $f(x)$. Observe que si restamos $x$ $f(x)$ y tome su recíproco, obtenemos $f(x)$. Por lo tanto, $$\frac{1}{f(x)-x} = f(x)$$ or $$f(x)^2-xf(x)-1 = 0$$ Solving for $f(x)$ using the quadratic formula, we get $$f(x) = \frac{x\pm\sqrt{x^2+4}}{2}$$ It's not hard to see that if $x$ is positive, then $f(x)$ must be positive (as the reciprocal of a positive number is always positive, as is the sum of two positive numbers). Therefore, for $x > 0$, we have $$f(x) = \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}$$ This is the same as $\frac{x}{2}+\sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2+1}$ (where we have just distributed the $\frac{1}{2}$). Notice that $f(1) = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi$.