¿Es posible encontrar un conjunto infinito de puntos en el plano donde la distancia entre cualquier par sea racional?

Question

La pregunta está escrita así:

¿Es posible encontrar un conjunto infinito de puntos en el plano, no todos en la misma línea recta, tal que la distancia entre CADA par de puntos es racional?

Esto sería muy fácil si estos puntos estuvieran en la misma línea recta, pero no he conseguido ninguna idea para resolver la pregunta anterior (no todos los puntos están en la misma línea recta). Creo que debe haber una especie de concatenación entre los puntos pero no he podido averiguarlo.

Lo que intenté es totalmente un desastre. Traté de dibujar algunos triángulos y conectar algunos puntos de un triángulo a otro, pero en vano.

Nota: Quiero ver un ejemplo real de tal conjunto infinito de puntos en el plano que pueda ser una respuesta para la pregunta. Un gráfico para estos puntos sería útil.

Answer 1

Incluso se pueden encontrar infinitos puntos de este tipo en el círculo unitario: Sea $\mathscr S$ sea el conjunto de todos los puntos del círculo unitario tales que $\tan \left(\frac {\theta}4\right)\in \mathbb Q$ . Si $(\cos(\alpha),\sin(\alpha))$ y $(\cos(\beta),\sin(\beta))$ son dos puntos del círculo, entonces un poco de geometría nos dice que la distancia entre ellos es (el valor absoluto de) $$2 \sin \left(\frac {\alpha}2\right)\cos \left(\frac {\beta}2\right)-2 \sin \left(\frac {\beta}2\right)\cos \left(\frac {\alpha}2\right)$$ y, si los puntos están ambos en $\mathscr S$ entonces esto es racional.

Detalles: La fórmula de la distancia es una consecuencia inmediata del hecho de que, si dos puntos de la circunferencia tienen un ángulo $\phi$ entre ellos, entonces la distancia entre ellos es (el valor absoluto de) $2\sin \frac {\phi}2$ . Para la racionalidad, tenga en cuenta que $$z=\tan \frac {\phi}2 \implies \cos \phi= \frac {1-z^2}{1+z^2} \quad \& \quad \sin \phi= \frac {2z}{1+z^2}$$

Nota: Por supuesto $\mathscr S$ es denso en el círculo. Hasta donde yo sé, no se sabe si se puede encontrar un conjunto de este tipo que sea denso en todo el plano.

Answer 2

Sí, es posible. Por ejemplo, podría empezar con $(0,1)$ y $(0,0)$ y luego poner puntos a lo largo de la $x$ -eje, observando que hay infinitos triángulos rectos diferentes con lados racionales y un cateto igual a $1$ . Por ejemplo, $(3/4,0)$ tendrá distancia $5/4$ a $(0,1)$ .

Esto significa que más si los puntos están en una sola línea (el $x$ -eje), sino un punto, $(0,1)$ no está en esa línea.

Answer 3

Esencialmente, sólo se conoce un conjunto infinito de distancia racional, construido a partir de triples pitagóricos racionales, y todos los demás ejemplos se derivan de éste por medio de inversiones (con radio racional y centro uno de los puntos del conjunto), isometrías, dilatación y tomando subconjuntos.

No hay otros ejemplos en curvas algebraicas (Solymosi y de Zeeuw 2008, http://arxiv.org/abs/0806.3095 ).