Las Corepresentaciones Irreducibles del Grupo Cuántico de Kac-Paljutkin de ocho dimensiones

Question

Pregunta

¿Cuáles son las representaciones irreducibles del Grupo Cuántico de Kac-Paljutkin de ocho dimensiones?

La representación trivial del núcleo viene dada por $\Delta_{|W}$ donde $W$ es sólo el subespacio unidimensional

$$W=\{\lambda(1,1,1,1,I_{2\times 2}):\lambda\in\mathbb{C}\}.$$

Según mis cálculos, debería haber otros siete subespacios invariantes unidimensionales y, por tanto, representaciones centrales irreducibles.

El grupo cuántico de Kac-Paljutkin de ocho dimensiones

Aquí damos las relaciones definitorias y la estructura principal de un grupo cuántico de ocho dimensiones introducido por Kac y Paljutkin. Este es en realidad el grupo cuántico finito más pequeño que no es un álgebra de grupo (por ejemplo $F(\mathbb{Z}_5)$ ). En otras palabras, es el álgebra C*-Hopf no conmutativa de menor dimensión.

Consideremos el álgebra multimatriz $$A=\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\oplus M_2(\mathbb{C}),$$ con la multiplicación e involución habituales. Utilizaremos la base $e_1=(1,0,0,0,0)$ (con $e_2,\,e_3,\,e_4$ definido de la misma manera) y

$$ a_{11}=0+ 0+ 0+ 0+\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right),$$

con el otro $a_{ij}$ definidos de la misma manera. El álgebra $A$ es un álgebra C* de ocho dimensiones. Su unidad es por supuesto $1_A=e_1+e_2+e_3+e_4+a_{11}+a_{22}$ . A continuación se define una comulgación en $A$ ,

$$ \Delta(e_1)=e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2+e_3\otimes e_3+e_4\otimes e_4+\frac{1}{2}a_{11}\otimes a_{11}+\frac{1}{2}a_{12}\otimes a_{12}+\frac{1}{2}a_{21}\otimes a_{21}+\frac{1}{2}a_{22}\otimes a_{22},$$

$$\Delta(e_2)=e_1\otimes e_2+e_2\otimes e_1+e_3\otimes e_4+e_4\otimes e_3+ \frac{1}{2}a_{11}\otimes a_{22}+\frac{1}{2}a_{22}\otimes a_{11}+\frac{i}{2}a_{21}\otimes a_{12}-\frac{i}{2}a_{12}\otimes a_{21},$$

$$ \Delta(e_3)=e_1\otimes e_3+e_3\otimes e_1+e_2\otimes e_4+e_4\otimes e_2+ \frac{1}{2}a_{11}\otimes a_{11}+\frac{1}{2}a_{22}\otimes a_{11}-\frac{i}{2}a_{21}\otimes a_{12}+\frac{i}{2}a_{12}\otimes a_{21},$$

$$ \Delta(e_4)=e_1\otimes e_4+e_4\otimes e_1+e_2\otimes e_3+e_3\otimes e_2+ \frac{1}{2}a_{11}\otimes a_{11}+\frac{1}{2}a_{22}\otimes a_{22}-\frac{1}{2}a_{12}\otimes a_{21}-\frac{1}{2}a_{21}\otimes a_{21},$$

$$ \Delta(a_{11})=e_1\otimes a_{11}+a_{11}\otimes e_1+e_2\otimes a_{22}+a_{22}\otimes e_2+e_3\otimes a_{22}+a_{22}\otimes e_3+e_4\otimes a_{11}+a_{11}\otimes e_4,$$

$$ \Delta(a_{12})=e_1\otimes a_{12}+a_{12}\otimes e_1+ie_2\otimes a_{21}-ia_{12}\otimes e_2-ie_3\otimes a_{21}+ia_{21}\otimes e_3-e_4\otimes a_{12}-a_{12}\otimes e_4,$$

$$ \Delta(a_{21})=e_1\otimes a_{21}+a_{21}\otimes e_1-ie_2\otimes a_{12}+ia_{12}\otimes e_2+ ie_3\otimes a_{12}-ia_{12}\otimes e_3-e_4\otimes a_{21}-a_{21}\otimes e_4,$$

$$ \Delta(a_{22})=e_1\otimes a_{22}+a_{22}\otimes e_1+e_2\otimes a_{11}+a_{11}\otimes e_2+e_3\otimes a_{11}+a_{11}\otimes e_3+e_{4}\otimes a_{22}+a_{22}\otimes e_4.$$

El conit viene dado por (mirando esto podemos ver la relación entre el conit y la comulgación con respecto a la unidad y la multiplicación en un caso de álgebra de grupos conmutativa. Para codificar $ ge=g=eg$ siempre que haya un término de la forma $ x\otimes e_1$ debe haber un término de la forma $ e_1\otimes x$ --- para captar la simetría izquierda y derecha $ R_\varepsilon=(I_A\otimes\varepsilon)\circ\Delta=(\varepsilon\otimes I_A)\circ \Delta=L_\varepsilon$ . Esto también demuestra que, en este caso, $\Delta(x)$ debe contener $ x\otimes e_1$ y $ e_1\otimes x$ para codificar $L_\varepsilon=I_A=R\varepsilon$ ):

$$ \varepsilon\left(x_1+x_2+x_3+x_4+\left(\begin{array}{cc}c_{11} &c_{12}\\ c_{21}&c_{22}\end{array}\right)\right)=x_1.$$

La antípoda es el mapa de transposición, es decir

$$ S(e_i)=e_i\text{, and }S(a_{jk})=a_{ji}.$$

Antecedentes

A presentación del núcleo $\chi$ de un grupo cuántico finito $(A,\Delta)$ en un espacio vectorial complejo $V$ es un mapa lineal $\chi:V\rightarrow V\otimes A$ que satisface

$$(\chi\otimes I_A)\circ \chi=(I_V\otimes \Delta)\circ\chi\text{ and }$$ $$(I_V\otimes \varepsilon)\circ \chi=I_V$$

donde $\varepsilon$ es el counit de $(A,\Delta)$ .

La dimensión del espacio vectorial se llama dimensión de $\chi$ y se denota por $d_\chi$ .

Si $W$ es un espacio vectorial que tiene la propiedad de que $\chi(W)\subset W\otimes A$ entonces $W$ se dice que invariante y $\chi_{|W}$ se llama subrepresentación .

Se puede demostrar que $\chi$ es equivalente a una suma directa de corepresentaciones unitarias irreducibles.

Dos presentaciones centrales $\chi_1$ y $\chi_2$ son equivalente como representaciones del núcleo si admiten y son invertibles intertwiner un mapa lineal invertible $T:V_1\rightarrow V_2$ tal que

$$\chi_2\circ T=(T\otimes I_A)\circ\chi_1.$$

El espacio de los entrelazados de $\chi_1$ a $\chi_2$ se denota por $\text{Hom}(\chi_1,\chi_2)$ .

Más información

Tenía la impresión de que la comulgación desempeña el papel de la representación regular en la teoría de la representación de los grupos finitos, de modo que todas las representaciones irreducibles del núcleo pueden encontrarse encontrando subespacios $W$ de $A$ invariante bajo la comulgación en el sentido de que $\Delta(W)\subset W\otimes A$ ... sin embargo, o bien estoy teniendo un estúpido malentendido o bien esto no es tan fácil como pensaba.

Estoy intentando aplicar la filosofía de un uso de la teoría de la representación de los grupos finitos a la teoría de la representación del núcleo de los grupos cuánticos finitos y quizás me he confundido un poco en el proceso.

Answer 1

Esto ha sido respondido por UwF en Mathoverflow .

El comentario anterior también enlaza con una descripción más explícita de los elementos de la matriz.