¿Se pueden rigidizar las variedades algebraicas mediante conjuntos finitos de puntos?

Question

Para una variedad algebraica X sobre un campo algebraicamente cerrado, ¿existe siempre un conjunto finito de puntos (cerrados) en X tal que el único automorfismo de X que fija cada uno de los puntos es el mapa identidad? Si Aut(X) es finito, la respuesta es obviamente afirmativa (así que sí para variedades de tipo general logarítmico en característica cero por Iitaka, Algebraic Geometry, 11.12, p340). Para las variedades abelianas, se puede tomar el conjunto de puntos de orden 3 [añadido: no es así, sólo para las variedades abelianas polarizadas]. Para P^1 se pueden tomar 3 puntos. Más allá de eso, no tengo ni idea.

La razón por la que lo pregunto es que, para tales variedades, la teoría de la descendencia se vuelve muy fácil (véase el capítulo 16 de las notas sobre geometría algebraica en mi sitio web).

Answer 1

Si la variedad $X$ se define sobre $\mathbb C$ es compacta y suave, entonces debería ser posible hacerla rígida. En efecto, la variedad $Aut(X)$ tiene a lo sumo un número contable de componentes irreducibles y todos estos componentes deben ser de dimensión acotada $N$ .

Probemos que será suficiente para fijar $N+1$ puntos (donde estaba $N$ aquí antes del comentario de Brian). Para cada componente Comp de $Aut(X)$ consideremos la subvariedad de $X$ que es movido por al menos un elemento de este componente Comp. Está claro que el punto desplazado será un subconjunto abierto de $X$ por lo que todos ellos tendrán una intersección (una intersección contable de subconjuntos abiertos no es vacía). Por tanto, habrá un punto en $X$ que es desplazado por al menos un elemento de cada componente de $Aut(X)$ . Marquemos este punto, llamémoslo $P$ . Obsérvese ahora que los componentes de $Aut(X,P)$ tienen dimensiones como máximo $N-1$ . Así que procedemos por inducción.

De hecho, no utilizamos realmente la suavidad de $X$ pero seguro que usamos eso $X$ se define sobre $\mathbb C$ .

Answer 2

Entiendo que la respuesta es "no" para una variedad abeliana sobre el cierre algebraico de F _p con la multiplicación compleja por un anillo con una unidad de orden infinito. Como dices que ya has pensado en el caso de la variedad abeliana, me pregunto si me estoy perdiendo algo.

Más generalmente, sea X una variedad cualquiera sobre el cierre algebraico de F _p con un automorfismo f de orden infinito. Un ejemplo concreto es tomar X una variedad abeliana con CM por un anillo numérico que contiene unidades distintas de las raíces de la unidad. Cualquier colección finita de puntos cerrados de X estará en X(F _q ) para algún q=p^n. Como X(F _q ) es finita, alguna potencia de f actuará trivialmente en X(F _q ). Así, cualquier conjunto finito de puntos cerrados está fijado por alguna potencia de f.

Según entiendo las aplicaciones a la teoría de la descendencia, esto sigue siendo poco interesante. Para ello, en realidad sólo necesitamos matar todos los automorfismos de orden finito, ¿no?

Answer 3

Si no pide que la variedad sea la adecuada, la respuesta es no.

Consideremos el plano afín A^2. Dado cualquier conjunto finito de puntos (x _i , y _i ), existe un polinomio f(x) que desaparece en cada x _i . Entonces (x,y) --> (x, y+f(x)) es un automorfismo que fija esos puntos.

Por su motivación declarada, estoy seguro de que quiere decir que la variedad es adecuada. Es una pregunta interesante; pensaré en ello.