La homología de $\Omega T^n$

Question

Como parte de un plan más grande para la conquista de Europa, tengo que calcular la integral de homología del bucle espacio de la $n$-torus $T^n = S^1\times \cdots \times S^1$.

El plan es el siguiente: calcular $H_*(\Omega T^n,\mathbb{Z})$ a través de Serre secuencia espectral (spectral secuencias son parte de la formación estándar de cualquier supervillano) el uso de $\Omega T^n\to pt\to T^n$ y, a continuación, compruebe el resultado con el uso de Künneth teorema.

El problema es que $\Omega T^n$ es un malvado espacio.

Serre espectral de la secuencia funciona bien cuando la base de un fibration simplemente se conecta, y este no es el caso. Es obviamente posible adaptar el argumento a un $\pi_1(B)\neq 0$ de los casos, pero (en el más poderoso teorema sé) la fibra $F$ tiene que estar conectado, que no es el caso de ($\Omega T^n$ parece tener muchas${}^{\mathbb Z}$ componentes conectados).

He intentado todo lo que sé, así que por favor me ayuden:

1. He de abandonar mi plan malvado?
2. Es posible calcular $H_*(\Omega T^n,\mathbb{Z})$ el uso de Serre SS?
3. Voy a confiar en un perezoso Kunneth cálculo que me dice que todos los $\Omega T^n$ tiene una contables número de contráctiles de los componentes conectados?

Answer 1

Secuencia de tiempo exacta de fibración $pt\to T^n$ nos da que $\pi_k(\Omega T^n)=\pi_{k+1}(T^n)$, que $\pi_k(\Omega T^n)=0$ cuando $k>0$. Puesto que actúa permutaciones de los componentes conectados de $\pi_1(T^n)=\mathbb Z^n$ $\Omega T^n$ transitiva, todos los componentes son homeomórficos. Y $T^n$ es un $CW$-complejo, el % de espacio $\Omega T^n$del tipo de homotopía de $CW$-complejo, por lo que cada de su componente es contractable.

Answer 2

La Serre espectral de la secuencia es un ser imperfecto herramienta para el cálculo de la homología de la fibra cuando la base de que el espacio no está simplemente conectado. Entonces usted tiene que utilizar la (co)homología con locales coeficiente de sistemas y usted no puede obtener el inductivo métodos iniciado, debido a que estos tipos de la (co)homología no dan suficiente información.

En tu caso, es interesante ver el $n=1$, por lo que su base es $S^1$. A continuación, la homología de grupos de la fibra tiene una acción de $\Bbb Z$, por lo que podemos pensar que como el generador de $t$ $\Bbb Z$ actuar. Todos los que podemos aprender de la Serre espectral de la secuencia es que:

• el operador $t-1$ es un isomorfismo en todos positivos grado de homología de grupos de la fibra, y

• en el grado cero de la homología de grupo, el operador $t-1$ es inyectiva con cokernel $\Bbb Z$.

Eso simplemente no es suficiente información para recuperar la homología de la fibra.