Cohomología de quaternions en una variedad abeliana

Question

Dadas dos no isogenous curvas elípticas $E_1$$E_2$$\mathbb{C}$. Set $A:=E_1 \times E_2$. Dado un trivial gavilla de álgebras de cuaterniones $D$$A$, ¿cuál es la dimensión del espacio vectorial $H^1(A,D)$?

Si uno piensa en $D$ como un elemento en el grupo de Brauer $Br(A)$, entonces es $2$-torsión, por lo tanto pertenece a $Br(A)[2]$. Ya que las curvas no son isogenous hay un isomorfismo $Pic(E_1)[2] \otimes Pic(E_2)[2] \to Br(A)[2]$. Así que no debe haber una conexión entre dichos cuaterniones y $2$-torsión de la línea de bultos en las curvas, pero no puedo encontrar una descripción explícita para este isomorfismo. Si es que la hay, yo pensaba que uno podía utilizar el Künneth fórmula para calcular $H^1(A,D)$ en términos de la cohomology de la línea de bultos en las curvas.

Por ahora, solo puedo trabajar fuera de la envolvente de $d=dim(H^1(A,D)) \geq 2$: el uso de Hirzebruch-Riemann-Roch y la simplificación de los términos de que uno se $d=c_2(D)+2$. Después de un resultado de M. Lieblich uno ha $c_2(D)\geq 0$.

¿Alguien ver/tener una descripción explícita de la isomorfismo mencionado anteriormente? Es la idea de usar Künneth un enfoque prometedor para este problema? O ¿alguien tiene otro enfoque? Hay algunos cálculos al respecto en la literatura (no pude encontrar uno)?

Otra pregunta en este contexto es: ¿cuál es la imagen de un álgebra bajo el mapa de $Br(A) \rightarrow Br(\mathbb{C}(A))$. Esto debería ser trivial $\mathbb{C}(A)$-cuaterniones, ya que el mapa "en cuanto a la genric punto de $\eta$" es inyectiva, es decir, $D_{\eta}$ es generado por los elementos de a$i,j$$i^2=a, j^2=b and ij=-ji$. Pero, ¿qué son resp. b? Yo creo que debe tener algo que ver con las funciones de h tal que 2*Y=div(h), donde Y define una de las líneas de paquetes. ¿Es esto cierto?

Answer 1

Para la descripción de los cuaterniones álgebra asociada a un par de torsión de la línea de paquetes, pruebe lo siguiente. Tome la línea de paquetes de ${\cal L}_i$ $E_i$ equipada con isomorphisms ${\cal L}_i^{\otimes 2} \to {\cal O}$, y tirar de ellos a $A$. Definir $$D = {\cal O} \oplus {\cal L}_1 \oplus {\cal L}_2 \oplus {\cal L}_1 \otimes {\cal L}_2$$ con la multiplicación inducida por los mapas ${\cal L}_i^{\otimes 2} \to {\cal O}$, ${\cal O}$ ser la unidad, y los elementos de ${\cal L}_1$ ${\cal L}_2$ anticommuting.

AÑADIDO: ojalá hubiera más conceptual explicación de por qué esto representa la copa del producto en el grupo de Brauer, pero aquí es un cocycle descripción a lo largo de las líneas de lo que Oren sugerido.

Supongamos $X$ es dada con 2-torsión de la línea de paquetes de $\cal L$$\cal M$. Elegir cocycles la representación de estos, en la forma de una cubierta (abierta en la analítica caso, o etale en el algebraicas caso) $U_\alpha$ $X$ junto con las secciones de $s_\alpha$ $\cal L$ $t_\alpha$ $\cal M$ $U_\alpha$ tal que $s_\beta / s_\alpha = u_{\alpha \beta} \in \{\pm 1\}$ y de manera similar a $t_\beta / t_\alpha = v_{\alpha \beta}$; estos dos últimos son los que representan cocycles.

Entonces D es base $\{1,s_\alpha, t_\alpha, s_\alpha t_\alpha\}$ $U_\alpha$ donde $s_\alpha^2 = t_\alpha^2 = 1$, y puede explícitamente que este isomorfo a un álgebra de matrices. El cambio de base envía $s_\alpha$ $s_\beta = u_{\alpha \beta} s_\alpha$y de manera similar para $t$. Esto puede lograrse mediante la conjugación por el elemento $t_\alpha^{(1 - u_{\alpha \beta})/2} s_\alpha^{(1 - v_{\alpha \beta})/2} = g_{\alpha\beta} \in D \cong M_2(\mathbb{C})$. Estos de cambio de base de las matrices de reducir a un cocycle en $PGL_2(\mathbb{C})$ lo que representa el álgebra, y por lo tanto la imagen en la Brauer grupo está representado por los coboundary $(\delta g)_{\alpha \beta \gamma} \in \{\pm 1\}$.

EDIT: arreglado siguiente descripción de la coboundary por lo que correctamente descritas en la copa del producto de las tierras.

Explícito de cálculo se encuentra $(\delta g)_{\alpha \beta \gamma}$ es equivalente a la cocycle $v_{\alpha \beta} \otimes u_{\beta \gamma}$ con coeficientes en $\{\pm 1\} \otimes \{\pm 1\} \cong \{\pm 1\}$ (puede que se me han mezclado los índices, si yo lo hice, por favor hágamelo saber y voy a corregir), que es precisamente la fórmula para la copa del producto de la cocycles $u$$v$.

Así que basado en su descripción de la copa del producto de la inducción de un isomorfismo entre 2-torsión en el grupo de Brauer y de la copa de productos de 2-torsión de los elementos en el grupo de Picard, esto realmente debe proveer de usted con los paquetes que usted está buscando.

Answer 2

Para el cálculo de la cohomology de $D$, usted podría considerar la posibilidad de su retirada a través de algunos finito a un mapa de $A\to A$ que $D$ trivializa. Entonces hay una Lyndon-Serre espectral de la secuencia con el grupo cohomology de $G$ el grupo cociente. El $E_{2}$ plazo se parece a $H^{i}(G,H^{j}(A,p^{-1}D))$ y converge a $H^{i+j}(A,D)$. Ver el libro de Mumford Abelian Variedades. Hay 3 otros útiles las referencias que se pueden encontrar en http://arxiv.org/abs/0811.2746. Ver los artículos citados en ese papel por Hoobler, Elencwajg y Narasimhan, y Berkovich.

El mapa de el producto tensor de la Picard Grupos para el grupo de Brauer también puede probablemente ser explícita, con el grupo o Cech Etale cohomology.

--Oren