Disjuntos conjuntos abiertos estándar en Spec(R)

Question

La siguiente apareció como una tarea problema de ultimo semestre de Johan de Jong de la geometría algebraica curso en Columbia (http://www.math.columbia.edu/~dejong/schemes.html), que se describe como "un poco de un enigma":

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y deje $P$ $Q$ ser el primer ideales de $R$. Mostrar que cualquiera puede encontrar distintos estándar abierto conjuntos de $D(f), D(g) \subset Spec(R)$ tal que $P \in D(f)$$Q \in D(g)$, o uno puede encontrar un alojamiento ideal contenida en $P$$Q$.

Me encontré con este problema un día después de navegar por las pilas de proyecto, y no había visto la declaración antes. Yo he probado un par de veces para probar, sin éxito. Algún consejo? (¿Es la prueba de que esta aparezca en los textos de geometría algebraica?)

Answer 1

El primer ideales contenidos en $P \cap Q$ son los principales ideales que son distintos a $R \setminus P \cup R \setminus Q$, que corresponden al primer ideales de $S^{-1} R$ donde $S$ es el subconjunto multiplicativo de a $R$ generado por $R \setminus P \cup R \setminus Q$, es decir,$S = (R \setminus P) \cdot (R \setminus Q)$. Por lo tanto, si no hay tal el primer ideal, tenemos $S^{-1} R = 0$, por lo tanto $0 \in S$, lo que significa que $fg=0$ algunos $f \in R \setminus P$$g \in R \setminus Q$. De ello se desprende $D(f) \cap D(g)=D(fg)=\emptyset$ y $P \in D(f)$, $Q \in D(g)$.

Si por el contrario $P$ $Q$ están separados por distintos abierto básicos subconjuntos $D(f)$$D(g)$, $fg$ es nilpotent, decir $f^n g^n = 0$. Pero, a continuación, $P$ $Q$ también están separados por la inconexión abierto básicos subconjuntos $D(f^n)$$D(g^n)$, por lo que podemos ejecutar el argumento de arriba hacia atrás.

Observación: a partir De esta observación se deduce fácilmente que el espectro de un cero-dimensional anillo es de Hausdorff.