Estamos terminando el primer semestre de cálculo con el dibujo de gráficos de funciones. A veces me siento como mi razonamiento es un poco de sombra cuando estoy haciendo eso, así que me decidí a preguntarle a la gente de las Matemáticas.SE.
Se supone que debo dibujar una gráfica (y mostrar mi trabajo) de la función de $f(x)=-x\sqrt{1-x^2}$: a Continuación es mi trabajo, yo estaría muy agradecido por cualquier comentario sobre las posibles lagunas en mi razonamiento (los resultados deben ser correctos), gracias!
$$\text{1. } f(x)=-x\sqrt{1-x^2}$$
Dominio: Tenemos una raíz cuadrada de la función, por lo tanto, tenemos $1-x^2\geq0$. Desde que llegamos$x\in[-1,1]$. Como esta es la única condición necesaria, $D(f)=[-1,1]$. La función también es continua en este intervalo ya que no hay nada de que se iba a producir una discontinuidad.
Simetría: $f(x)$ es una función impar, como $-f(x)=f(-x)$, como se muestra aquí: $$-f(x)=f(-x)$$ $$-(-x\sqrt{1-x^2})=-(-x)\sqrt{1-(-x)^2}$$ $$x\sqrt{1-x^2}=x\sqrt{1-x^2}$$
Por lo tanto, sólo estamos interesados en el intervalo de $[0,1]$, ya que la función se comportan de forma simétrica en $[-1,0]$.
x e intersecciones: $f(x)=0$ tiene al $x=0,1$, los que luego son los interceptos en x. Así también el intercepto en y es en $(0,0)$
Primera derivada $$\begin{align} \ f'(x) &=(-x\sqrt{1-x^2})' \\ & = (-x)'\sqrt{1-x^2}+(-x)(\sqrt{1-x^2})' \\ & = -\sqrt{1-x^2}+(-x)\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) \\ & = -\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\ & = \frac{2x^2-1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \end{align}$$
Local de mínimos y máximos: La igualdad de $\frac{2x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}=0$ rendimientos $x=\frac{1}{\sqrt2}$. Como $f(\frac{1}{\sqrt2})=-\frac{1}{2}$ y porque sabemos que los interceptos en x, podemos concluir que este es el mínimo local y la función es decreciente en $x\in [0,\frac{1}{\sqrt2})$ y el aumento en $x\in(\frac{1}{\sqrt2},1]$. Que también puede ser la conclusión de que el hecho de que $f′≤0$ en el intervalo de $[0,\frac{1}{\sqrt2}]$ $f′≥0$ en el intervalo de $[\frac{1}{\sqrt2},1]$.
Segunda derivada $$\begin{align} \ f''(x) &=(\frac{2x^2-1}{\sqrt{1-x^2}})' \\ & = \frac{(2x^2-1)'\sqrt{1-x^2}-(2x^2-1)(\sqrt{1-x^2})'}{1-x^2} \\ & = \frac{4x\sqrt{1-x^2}-(2x^2-1)\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\ & = \frac{4x\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}-(2x^2-1)\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\ & = \frac{\frac{-2x^3+3x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\ & = \frac{-2x^3+3x}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \\ \end{align}$$
Punto de inflexión y concavidad: $f''(x)=0$ sólo tiene un resultado y que es $x=0$. Si nos fijamos en la desigualdad de la $x\in(0,1]$. $$\begin{align} \ 0&<f''(x) \\ 0&<\frac{-2x^3+3x}{\sqrt{(1-x^2)^3}} \\ 0&<-2x^3+3x \\ 2x^3&<3x \\ 2x^2&<3 \\ x^2&<3/2 \\ \end{align}$$
Podemos ver que $x^2<3/2$ está satisfecho en $x\in(0,1]$, por lo tanto la función es convexa en el intervalo.
Conclusión: el Uso de la symmetricity de la función, podemos concluir que la función es creciente en $[-1,-\frac{1}{\sqrt2}]$ $[\frac{1}{\sqrt2},1]$ y disminuyendo en $[-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}]$. Tiene mínimo local en $x=\frac{1}{\sqrt2}$ y un máximo local en a $x=-\frac{1}{\sqrt2}$. Es cóncava en a $[-1,0]$ y convexo en $[0,1]$, con un punto de inflexión en el $x=0$.
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