Se trata de una pregunta muy sencilla, ¡y me da bastante vergüenza hacerla! Estoy tratando de entender qué es una acción en general, y tal vez el mejor lugar para empezar es tratar de esbozar mi comprensión actual.
Entiendo lo que es una acción de grupo sobre un conjunto, un mapa $G \times X \rightarrow X$ donde $(g,x) \mapsto g\cdot x$ . tal que $e \cdot x = x, \forall x \in X $ y $(gh)\cdot x = g\cdot(h\cdot x)$
Según las propiedades anteriores, cada elemento de $G$ nos da una biyección de elementos en $X$ y tenemos un homomorfismo $G \rightarrow \textrm{Sym}(X)$
Según tengo entendido, también podemos tener un grupo que actúa sobre otros objetos, es decir, decimos que un grupo $G$ actúa sobre un objeto $A$ si tenemos un homomorfismo de grupo $G \rightarrow \textrm{End}(A)$
Por ejemplo, en la teoría de Galois, si tenemos una extensión de Galois $E / F$ con grupo de Galois $G$ entonces $G$ actúa sobre $E$ ya que tenemos un mapa $G \times E \rightarrow E$ donde $(g,a) \mapsto g(a)$ . Por su definición $g$ es un automorfismo de $E$ y la operación de grupo es composición de funciones por lo que $(g, (h , a)) = (gh ,a)$ . A mi entender, esta acción no es sólo sobre el conjunto subyacente del campo, en realidad queremos decir que la acción respeta la estructura del campo.
Así que, en general, si queremos demostrar que un grupo $G$ actúa sobre un objeto $A$ tenemos que hacerlo:
(1) asociar un elemento $g \in G$ con un mapa $\phi_g: A \rightarrow A$
(2) Demuestre que este mapa es un homomorfismo $\phi_g \in \textrm{Hom} (A,A)$ es decir, que respeta todas las operaciones de $A$ y
(3) demuestre que para $g_1, g_2 \in G$ tenemos $\phi_{g_1g_2} = \phi_{g_1} (\phi_{g_2})$ .
Espero estar en lo cierto hasta ahora, por favor corríjanme si no es así. Tengo dos problemas.
En primer lugar, me preocupa que mi comprensión sea un poco errónea. Cuando $X$ es un conjunto, la acción de un elemento de $G$ es una biyección del conjunto, por lo que me parece que si un objeto $A$ tiene un conjunto subyacente $X$ entonces deberíamos esperar en su lugar un homomorfismo $G \rightarrow \textrm{Aut}(A)$ ? De hecho, independientemente del conjunto subyacente, utilizar un elemento de $G$ y su inversa entonces la propiedad de composición implica que el homomorfismo asociado a cualquier elemento $g \in G$ tiene un inverso, a saber, el homomorfismo asociado a $g^{-1}$ .
En segundo lugar, no tengo una comprensión o apreciación de la importancia de las acciones de grupo en un entorno más amplio, por ejemplo, si tenemos una extensión de Galois $E / F$ con grupo de Galois $G$ y que $N$ sea el campo fijo de un subgrupo normal $H \trianglelefteq G$ entonces $G$ actúa sobre $H$ por conjugación. Pero me cuesta ver la interpretación de esto, es decir, qué significado tiene la acción en términos de la extensión del campo, o del grupo.
Gracias de antemano por cualquier indicación.
